1.1.3 Двойственные оценки и их назначение

Теорема 1 (теорема об оценках). В оптимальном решении двойственной задачи значения переменных численно равны частным производным для исходной задачи.

Данная теорема позволяет определить приращение целевой функции при малых изменениях свободных членов  системы ограничений, то есть,

f(y*, )= ,

где y* - оптимальное решение двойственной задачи, y*=( ).

Если в план включаются новые виды продукции, то их оценка производится по формуле

Если <0, то новый вид продукции улучшает план. При >0 нецелесообразно вводить новый вид продукции.

1.2 Послеоптимизационный анализ решения злп

Для любой практической задачи линейного программирования недостаточно просто найти оптимальное решение, но целесообразно проводить анализ на чувствительность – исследование зависимости оптимального решения от параметров целевой функции и условий - ограничений. В общем случае приемы, используемые при этом анализе, достаточно просты, хотя и несколько громоздки.

1.2.1 Определение диапазонов допустимых изменений коэффициентов при переменных в целевой функции f.

Под допустимыми понимают такие изменения этих коэффициентов, при которых оптимальный базис рассматриваемой ЗЛП (т.е. базис при последней итерации симплекс – метода, соответствующий оптимальному решению) остается оптимальным.

Пусть изменениям  подвергнется коэффициент . Обозначим через J_б,  J_неб  множество  индексов базисных и небазисных векторов в оптимальном плане x0 соответственно.

Найдем значения оценок  после изменения c_r для двух случаев:

1. r J_неб , тогда 

для всех j≠r ;

                             для j=r ;                  (5)

       2) r J_б,

           jJ_неб                   (6)

Очевидно, что для сохранения оптимальности прежнего плана при изменениях коэффициента c_r необходимо и достаточно  сохранение знаков оценок  для всех небазисных переменных. Поэтому из условий ≥0 в соответствии с формулами (5) и (6) можно определить допустимые изменения коэффициента , при которых сохраняется прежнее оптимальное решение. Если одновременно изменяются несколько коэффициентов, то

получим соотношения, аналогичные (6), в которых оценки будут функциями уже нескольких параметров (δ₁, δ₂,., δ_r). Решая совместно систему неравенств вида (c₁, c₂,.,c_r)≥0, jJ_неб, находим условия для , при которых прежний оптимальный базис сохраняется.

1.2.2 Определение диапазонов допустимых изменений параметров , i=1,…,n.

В задачах распределительного типа величина характеризует предельно возможный объем потребления i-го ресурса. Изменение значений свободных членов приводит к увеличению или уменьшению F_max . Это изменение F_max определяется величиной решения двойственной задачиy* и может быть оценено таким образом только тогда, когда при изменении величин b оптимальный план исходной задачи остается неизменным.

Обозначим через Ax матрицу оптимального базиса задачи ЛП при векторе ресурсов b. Очевидно соответствующее оптимальное решение

x_опт= A^-1_x b.

Предположим, что мы изменили вектор ресурсов b=|| b_i ||  на  b_н=b+ ∆b  и хотим узнать, как это повлияет на оптимальное решение. Для этого найдем новое соответствующее базисное решение

x_н = А^-1_хb_н = А^-1_х(b+∆b).

Если все компоненты x_iн ≥ 0, то это решение x_н = [x_iн] оптимально (т.е. оптимальный базис не изменился).