1.1.4. Абсолютная и относительная погрешности измерений

Выразить любую погрешность (систематическую или случайную) можно в виде абсолютной или относительной величины.

Истинное значение физической величины абсолютно точно определить нельзя. Каждое измерение дает значение определяемой величины x с некоторой погрешностью или , называемой абсолютной погрешностью. Более строго, абсолютная погрешность – это величина, на которую может отличаться истинное значение искомой величины от найденного в результате измерения при однократных измерениях или среднего арифметического значения при многократных измерениях.

Абсолютная погрешность позволяет установить границы интервала значений, внутри которого лежит истинное значение :

. (1.1)

Принята более короткая запись этого выражения:

. (1.2)

Интервал возможных значений величины называется доверительным интервалом, внутри которого находится истинное значение величины.

Абсолютная погрешность ничего не говорит о качестве проводимых измерений. Одна и та же погрешность =1 мм при измерении длины комнаты не сыграет роли, при измерении диаметра болта совершенно недопустима. Качество измерения характеризует относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к самой величине:

. (1.3)

Относительная погрешность – безразмерная величина. Очень часто ее выражают в процентах.

1.1.5. Оценки погрешностей измерительных приборов

В лабораторном практикуме под систематическими погрешностями будем понимать только один тип этих погрешностей – погрешности измерительных приборов, т.е. приборные погрешности.

Есть приборы, погрешность которых оценивается на заводе изготовителе путем сравнения показаний данного прибора с показаниями другого, более точного. Результат проверки приводится либо в паспорте к прибору либо указанием класса точности на приборе k: 0,02; 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. Чем меньше значение класса точности, тем точнее прибор. Класс точности есть относительная погрешность, приведенная к максимальному значению величины по шкале, выраженная в процентах:

, (1.4)

где ─ абсолютная погрешность, ─ максимальное значение величины по шкале.

Для всех приборов этого типа постоянной по всей длине шкалы является абсолютная погрешность, значение которой можно найти из выражения для класса точности:

. (1.5)

Относительная погрешность таких приборов изменяется по длине шкалы в зависимости от измеренной величины:

. (1.6)

Если приборы с измерительной шкалой не имеют паспорта, не указан класс точности, то абсолютная погрешность такого прибора равна половине цены наименьшего деления шкалы. Некоторые приборы имеют дополнительную шкалу (нониус), позволяющую увеличить точность измерения. Абсолютная погрешность таких приборов равна наименьшей цене деления нониуса и указана на приборе.

1.1.6. Оценка погрешностей многократных измерений

Кроме систематических погрешностей существуют случайные погрешности. Для того, чтобы выявить случайную погрешность необходимо повторить измерения несколько раз (многократные измерения).

В преобладающем большинстве случаев различные факторы, вызывающие погрешности измерений, не зависят друг от друга. Погрешность амперметра не зависит от погрешности вольтметра. Погрешность, обусловленная силами трения в рычажных весах, не зависит от погрешности, вызванной неточностью используемых гирь и т.п. Если каждое измерение дает отличные от других результаты, то имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль.

В теории ошибок показывается, что наиболее близким к истинному значению является среднее арифметическое:

(1.7)

где - значение измеряемой величины в -ом опыте, - количество измерений. Чем больше , тем точнее приближается к истинному значению измеряемой величины. Однако число измерений всегда конечно и истинное значение остается неизвестным. По теории вероятности среднее арифметическое конечной серии измерений достовернее отдельных измерений, так как случайные отклонения от истинного значения в разные стороны равновероятны. При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения в процессе измерения является случайным событием.

Существует некоторая вероятность появления значения в интервале от до . За вероятность ( ) появления величины в интервале шириной принимают относительную частоту появления значения в данном интервале, т.е. отношение числа значений попадавших в интервал к числу всех значений, при числе опытов . Очевидно, что вероятность достоверного события , а невозможного события т.е. или

Доверительным интервалом называют интервал [ ; ], в который по определению попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью . Доверительной вероятностью , надежностью результата серии измерений, называют вероятность, того что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал.

Для серии из опытов случайные погрешности оценивают или по методу "средних", либо методом Стьюдента, связанным с функцией распределения случайных величин, за которые принимаются ошибки отдельных измерений.

В методе «средних» случайная погрешность находится как среднее арифметическое абсолютных значений погрешностей отдельных измерений взятых по модулю:

(1.8)

При этом полная абсолютная погрешность находится как сумма случайной и систематической погрешностей:

(1.8 а)

В методе Стьюдента для оценки случайной погрешности используется формула:

(1.9)

где - коэффициент Стьюдента, который зависит от заданной вероятности и числа измерений .

Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента

Число измерений	Доверительная вероятность (надежность)
	90%	95%	99%
2	6,314	12,706	63,657
3	2,920	4,303	9,925
4	2,353	3,182	5,841
5	2,132	2,776	4,604
6	2,015	2,571	4,032
7	1,943	2,447	3,707
8	1,895	2,365	3,499
9	1,860	2,306	3,355
10	1,833	2,262	3,250
11	1,812	2,228	3,169
12	1,796	2,201	3,106
13	1,782	2,179	3,055
14	1,771	2,160	3,012
15	1,761	2,145	2,977

Для , принятой в данном студенческом практикуме, могут быть использованы приближенные значения соотношений между и :

	3	4	5	6	7	8	9	10
	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,32

Величину называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.

Полная абсолютная погрешность определяется по формуле:

(1.10)