Алгебра высказываний

108. Даны высказывания: а: «идет дождь»; b: «прогулка отменяется»; с: «я вымокну»; d: «я останусь дома». Запишите следующие высказывания на языке алгебры логики: «Будет отменена прогулка или не будет, я останусь дома, если идет дождь»; «Я не вымокну, если на улице нет дождя или если прогулка отменяется и я останусь дома». Переведите следующее высказывание с языка алгебры логики .

109. Следующее составное высказывание расчленить на простые и записать символически, введя буквенные обозначения для простых составляющих. «Если фирма продолжает выпуск существующего продукта и ориентирована на существующий рынок, то для нее целесообразна стратегия «малого корабля» (экономии издержек). Такая стратегия привлекательна, если интенсивный маркетинг  стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона фирмы. Если интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для существующего продукта.»

110. Представить сложное высказывание: «Рост тарифов на электроэнергию приведет к росту цен на промышленную продукцию, а это, в свою очередь, обусловит рост цен на продукцию энергомашиностроения» в виде логической формулы.

111. Представить сложное высказывание: «Снижение доходов населения ведет к снижению спроса на товары народного потребления, а это приводит к свертыванию производства и росту безработицы» в виде логической формулы.

112. Представить сложное высказывание: «Чем больше работаешь над бизнес-проектом и анализируешь альтернативы, тем быстрее справишься с заданием и выберешь лучший вариант» в виде логической формулы.

113. Товар характеризуется четырьмя свойствами х₁, х₂, х₃, х₄. Если любое свойство x_i равно по своим характеристикам сходным свойствам аналогичных товаров-конкурентов или превосходит их, то значение этого свойства полагаем равным 1, в противном случае – 0. Если хотя бы три свойства товара равны свойствам товаров-конкурентов или превосходят их, то считаем, что данный товар будет пользоваться спросом на рынке. Записать логическую формулу, отражающую спрос на данный товар.

114. Найти логические значения х и у, при которых выполняются равенства: 1) ; 2) .

115. Пусть . Определить логические значения следующих сложных высказываний: 1) ; 2) ; 3) ; 4)  ; 5) .

115. Из трех данных высказываний А, В, С состроить такое высказывание, которое: 1) ложно тогда и только тогда, когда все данные высказывания истинны; 2) истинно тогда и только тогда, когда истинны высказывания А и В; 3) ложно тогда и только тогда, когда ложны высказывания А и В; 4) истинно тогда и только тогда, когда все данные высказывания либо истинны, либо ложны; 5) ложно тогда и только тогда, когда ложно лишь высказывание С.

116. Определить логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений предыдущих высказываний: 1)  ;

2) ;

3)  ; 4) 

117. Построить таблицы истинности для формул: 1)  ; 2)  ; 3) ; 4) ; 5)  ; 6)   .

118. Построив таблицы истинности, установить, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными: 1)  ; 2) ; 3) ; 4)  .

119. Проверить равносильность формул (без построения таблиц истинности): 1)  ; 2) ; 3) ; 4)  ; 5) ; 6)  ; 7) ; 8)  .

120. Упростить формулы: 1) ; 2) ; 3)  ; 4) ; 5)  ; 6) .

121. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил: а) «Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя»; б) «Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра»; в) «Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра». Подумав немного, он понял, что три высказывания можно лаконично объединить в одно. Каким должно быть это высказывание?

122. Жили 4 друга: Альберт, Карл, Дитрих и Фридрих. Фамилии у них были те же самые, что и имена, но так, что ни у кого из них имя и фамилия не были одинаковыми. Кроме того, фамилия Дитриха не Альберт. Определить фамилию каждого мальчика, если известно, что имя мальчика с фамилией Фридрих есть фамилия мальчика, имя которого есть фамилия Карла.

123. По обвинению в совершении преступления задержали Брауна, Джона и Смита. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, а третий  известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а чиновник в одном случае говорил правду, в другом  ложь. Вот что они утверждали. Браун: «Я совершил это, Джон не виноват». Джон: «Браун не виноват, преступление совершил Смит». Смит: «Я не виновен, виноват Браун». Требуется определить имена старика, мошенника и чиновника и кто из них виноват, если известно, что преступник один.

124. Брауну, Джону и Смиту предъявлено обвинение в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике», Джон сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд» и не в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них правильно указал либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета и какой марки был автомобиль?

125. Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые 4 места. Когда их спросили о распределении мест, то они дали следующие ответы:

- Сергей  первый, Роман  второй;

- Сергей  второй, Виктор  третий;

- Юрий  второй, Виктор четвертый.

Как распределились места, если в каждом из ответов только одно утверждение истинно?

126. На вопрос, кто из трех студентов изучал математическую логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий. Кто изучал логику?

127. Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи.

- Клод утверждал, что Жак лжет.

- Жак обвинял во лжи Дика.

- Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку.

Но следователь быстро вывел их на чистую воду, не задав ни одного вопроса. Кто из свидетелей говорил правду?

128. Судейская коллегия, состоящая из трех человек, выносит решение большинством голосов при тайном голосовании. Постройте такую электрическую схему, чтобы голосование «за» любого члена коллегии производилось нажатием кнопки, и в случае принятия решения загоралась сигнальная лампа.

129. Комиссия для голосования состоит из трех рядовых членов и председателя. Спроектируйте электрическую цепь, показывающую результаты тайного голосования, если оно происходит следующим образом каждый член комиссии при голосовании «за» нажимает кнопку; лампочка загорается лишь в тех случаях, если предложение собрало большинство голосов, либо число голосов «за» и «против» равное, но «за» подан голос председателя.

130. Построить РКС для формул: 1) ; 2)  ; 3)  ; 4) ; 5) ; 6) ; 7)  ; 8) ; 9)  ;10) .

Привести к ДНФ и КНФ:

131. ;

132. ;

133. .

Найти СДНФ и СКНФ для формул (относительно списка нефиктивных переменных):

134. ;

135. x₁&(x₁х₂);

136. (x₁х₂)(х₂x₁);

137. ;

138. ;

139. .

140. ;

141. Доказать равносильность формул и сравнением их совершенных нормальных форм.

142. Найти более простой вид формул, имеющих следующие совершенные нормальные формы: 1) x&yx&yx&y; 2) (xy)&(xy)&(xy); 3) x&y&zx&y&zx&y&z; 4) (xyz)&(xyz)&(xyz).

143. Используя критерий тождественной истинности и тождественной ложности формулы, установить, будет ли данная формула тождественно истинной, тождественно ложной или выполнимой: 1) ; 2)  ; 3) ; 4) .

144. Сколько существует различных булевых функций от n аргументов?

145. На скольких оценках списка переменных принимает значение 1 следующая булева функция от n переменных? 1) ; 2) ; 3)  ; 4) ; 5) ; 6)  .

146. По заданной таблице истинности найти формулы, реализующие функции, и придать им более простой вид.

х1	х2	х3
1	1	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1
0	0	0	0	1	1	0

147. Построить формулы в СДНФ и СКНФ, реализующие функции f(x, y, z), если известно, что: 1) f(0,1,0)=f(1,0,1)=f(1,1,1)=1; 2) f(1,0,1)=f(1,1,0)=1 (остальные значения функции равны 0), и придать им более простой вид.

148. Указать формулы с СДНФ и СКНФ, выражающие функции: 1)  большинство переменных равно 1; 2)  . Упростить формулы и построить для них РКС.