Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и определители Задание 2. Решение задач на действия над матрицами – 0,5 ч.

Цель: формирование умения находить линейную комбинацию, произведение матриц, транспонировать матрицу.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 2.1.Выучите, что называют матрицей, какие основные операции над матрицами существуют.

2.2. Заданы матрицы: , . Какие из следующих операций выполнимы:

а) А+В; б) А-Е; в) В+С; г) В^Т+2С; д) А∙В; е) А∙С; ж) В∙С; з) В∙D; и) С^Т∙D?

2.3. Заданы матрицы: , . Найдите:

а) 2А; б) 3В; в) 2А+3В; г) 2А-3В; д)В^Т; е) А∙В^Т; ж) В^Т∙А.

2.4. Найдите матрицу: а) б) в)

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Матрицей размера (m x n) (m и n - натуральные чис­ла) называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов.

При решении задач 2.2 – 2.4 проанализируйте, какие операции нужно выполнить над матрицами. Внимательно изучите следующий теоретический материал и разберите примеры решения типовых задач:

Операции над матрицами.

1. Транспонирование матриц

М атрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается А^т.

Пример 1. Транспонируйте матрицу

Решение. Операция транспонирования матрицы А осуществляется следующим образом: первая строка матрицы А становится первым столбцом матрицы А^Т , вторая строка А - вторым столбцом А^т, т.е.

А^т =

2. Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковую размерность.

Суммой (разностью) матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) называется матрица С, элементы которой равны суммам (разно­стям) соответствующих элементов матриц А и В, т.е. c_ij = a_ij + b_ij (c_ij = a_ij - b_ij).

Пример 2. Найдите сумму и разность матриц и

Решение:

D = A – B =

3. Произведением матрицы А = (а_ij) на число k (k R) называется матрица С той же размерности, элементы кото­рой равны произведению числа k на соответствующие элементы матрицы А, т.е. c_ij = k · а_ij

П ример 3. Найдите произведение матрицы А на число k = 3, если

Решение:

4. Умножение матриц

Матрицу А можно умножать на матрицу В тогда и только то­гда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

П роизведением матрицы А размера (m x n) на матрицу В размера (п x р) называется матрица С = (с_ij) размера (m x р), элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-гo столбца матрицы В.

П олучение элемента с_ij можно представить в виде схемы (рис. 1):

Рис. 1

Пример 4. Найдите произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы А (2 х 3), размер В - (3 х 2).

Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, следовательно, умножение возможно. При этом матрица С = А ·В будет иметь размерность (2 х 2).

Найдем элементы с_ij матрицы С:

Для нахождения элемента c₁₁ находим сумму произведений элементов первой строки матрицы А и первого столбца матрицы В:

c₁₁ = (1 строка А и 1 столбец В) = l ·1 + 2· 0 + 0 · 2 = 1;

Аналогично c₁₂ = (1 строка А и 2 столбец В) = 1 · 2 + 2 · 1 + 0 · 2 = 4;

c₂₁= (2 строка А и 1 столбец В) = 3 · 1 + 1 · 0 + 1 · 2 = 5;

c₂₂= (2 строка А и 2 столбец В) = 3 · 2 + 1 · 1 + 1 · 2 = 9.

Получили, что . Ответ:

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 2, §2.1, стр. 12 – 17.

2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 1, §1, стр. 63 – 71.