Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 17. Нахождение асимптот графика функции – 0,5 ч.

Цель: формирование умения находить асимптоты графика функции.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 17.1.Запомните основные виды асимптот графика функции. Проанализируйте, в каких случаях график функции имеет вертикальную асимптоту, в каких - горизонтальную или наклонную.

 17.2. Детально изучите и постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить асимптоты графика функции.

17.3. Найдите асимптоты графика функции:

а) ; б) ; в) .

 17.4. Найдите асимптоты графика функции:

а) ; б) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Поиск асимптот является одним из важных этапов построения графиков функций.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная.

1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой функции , если .

2. Прямая у=с называется горизонтальной асимптотой функции , если .

3. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой функции , если .

На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.

Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:

х=а – вертикальная асимптота

у=c – горизонтальная асимптота

у=kx+b – наклонная асимптота

Горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии →∞. Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при →+∞ и →-∞.

Для поиска асимптот удобно использовать следующий алгоритм:

1. Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения (х=а) и проверяем следующее условие: если , то х=а – вертикальная асимптота.

Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим .

• Если с – число, то у=с – горизонтальная асимптота;

• Если с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим .

• Если k – число, отличное от 0, то находим . Тогда у=kx+b – наклонная асимптота;

• Если k – бесконечность, то наклонных асимптот нет.

Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем – их нет.

Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:

Пример 1. Найдите асимптоты графика функции .

Решение. 1. Найдем область определения функции: х-1≠0; х≠1.

Проверим, является ли прямая х=1 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х=1: .

Получили, что , следовательно, х=1 - вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с= .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с= = . Т.к. с=2 (число), то у=2 – горизонтальная асимптота.

Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=1 и горизонтальную асимптоту у=2.

Ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту х=1 и горизонтальную асимптоту у=2.

Пример 2. Найдите асимптоты графика функции .

Решение. 1. Найдем область определения функции: х-2≠0; х≠2.

Проверим, является ли прямая х=2 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х=2: .

Получили, что , следовательно, х=2 - вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с= .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с= = . Т.к. с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим :

= = = .

Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя: = =1.Итак, 1. Найдем b по формуле: .

b= = =

= = .

Получили, что b= 2. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+2.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х=2 и наклонную асимптоту у=x+2.

Ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту х=2 и наклонную асимптоту у=x+2.

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 41, стр. 231-232.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.9, стр. 144 – 146.