Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 16. Определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба – 0,5 - 1 ч.

Цель: формирование умения находить промежутки выпуклости, вогнутости графика функции и его точки перегиба.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 16.1. Выучите определения вогнутого и выпуклого на интервале графика функции, точки перегиба. Запомните критерий выпуклости (вогнутости) графика функции.

 16.2. Выясните, в чем заключается достаточное условие существования точек перегиба. Детально изучите и постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить промежутки выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба.

16.3. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции:

а) ; б) ; в) .

 16.4. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

 16.5. Определите, при каком значении а график функции будет вогнутым на области определения функции.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба.

Ф ункция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.1. является выпуклым на промежутках (- ;х₁) и (х₂; + ); вогнутым на (х₁;х₂). График функции имеет две точки перегиба: (х₁;у₁) и (х₂;у₂).

Критерий выпуклости-вогнутости функции: если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый;

если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.

Критерий выпуклости-вогнутости функции удобно представляется в виде схемы:

f(x) вогнутая
f(x) выпуклая

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Критическими точками функции второго рода называются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку х_о меняет знак, то точка графика с абсциссой х_о является точкой перегиба.

При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба удобно использовать следующий алгоритм:

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите первую производную функции .

3. Найдите вторую производную функции .

4. Определите критические точки второго рода ( (x_o)=0 или (x_o) не существует).

5. На числовой оси отметьте критические точки второго рода и определите знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.

6. Найдите интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выпишите абсциссы точек перегиба (если они есть) и найдите значение функции в этих точках.

Пример 1. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Найдем вторую производную функции: =2х-6.

4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2х-6= 0 х=3.

5. На числовой оси отметим критическую точку х=3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2х-6 на каждом из полученных интервалов:

при х=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

при х=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

т. перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).

Значение х=3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х=3:

= =2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;3),

вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.

Пример 2. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение. 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х-7≠0 .

2. Найдем первую производную функции:

= = =

= .

3. Найдем вторую производную функции: = =

= =

= .

Вынесем в числителе 2∙(х-7) за скобки:

= =2∙ =

= = = .

4. Определим критические точки второго рода: не может быть равна нулю, поскольку числитель дроби 108≠0.

не существует, если (х-7)³=0 - критическая точка второго рода.

5. На числовой оси отметим критическую точку х=7 выколотой точкой, поскольку в этой точке функция не определена. Эта точка разбивает область определения функции на два интервала (-∞;7) и (7;+∞). Расставим знаки второй производной функции = на каждом из полученных интервалов:

при х=6 (-∞;7) (6)= <0;

при х=8 (7;+∞) (8)= >0.

вогн.

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).

Точка с абсциссой х=7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).

Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞).

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 40, стр. 227-231.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.8, стр. 141 – 144.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §7, стр. 274– 278.