II. Правило Лопиталя

Если при вычислении предела функции возникает неопределенность вида или вида , и никакой из существующих приемов ее раскрытия не работает, на помощь придет правило Лопиталя. Под правилом Лопиталя понимают прием раскрытия неопределенностей вида или .

Теорема (правило Лопиталя). Для вычисления предела , где = , достаточно найти предел отношения производных данных функций (если он существует), т.е. = .

Замечание. 1. Правило Лопиталя справедливо также для случаев

• неопределенности вида при х→∞;

• неопределенности вида при х→х_о и х→∞.

2. Правило Лопиталя может быть применено последовательно несколько раз для раскрытия неопределенностей вида или .

Рассмотрим примеры нахождения пределов функций с использованием правила Лопиталя.

Пример 4. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере встречается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = =е⁰=1.

Ответ: =1.

Пример 5. Вычислите .

Решение. Поскольку в примере рассматривается неопределенность вида , можно применить правило Лопиталя:

= = . Снова получили неопределенность вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя еще раз:

= = . Повторно применяя правило Лопиталя, получим

= = =0, т.к. е^х→∞ при х→∞.

Ответ: =0.

Пример 6. Вычислите .

Решение. Поскольку при х→0 функция lnx→∞, то имеет место неопределенность вида (0∙∞) и правило Лопиталя применить нельзя. Попытаемся преобразовать выражение, стоящее под знаком предела: = . Тогда под знаком предела будет неопределенность вида , к которой правило Лопиталя применимо:

= = = = =- =- =0.

Ответ: =0.

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 37, стр. 218-220.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.3, стр. 127 – 130; §6.5, стр. 132 – 134.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §5, стр. 239– 240.

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 15. Решение задач на определение промежутков возрастания и убывания, нахождение экстремумов функции – 0,5 - 1ч.

Цель: формирование умения находить промежутки возрастания и убывания функции, исследовать функцию на экстремум с помощью производной.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 15.1. Вспомните определения возрастающей (убывающей) на интервале функции, интервалов (промежутков) монотонности. Изучите критерий возрастания (убывания) функции.

 15.2. Вспомните определения точки экстремума и экстремума функции. Проанализируйте, в чем заключается их кардинальное отличие. Изучите достаточное условие существования экстремума (критерий нахождения точек экстремума) функции.

 15.3. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить промежутки монотонности и экстремумы функции.

15.4. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции:

а) ; б) ; в) .

 15.5. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

 15.6. Определите, при каком значении a функция имеет экстремум в точке . Выясните, будет ли в этом случае данная точка являться точкой максимума или точкой минимума функции.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: