Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной
Задание 14. Решение задач на нахождение производных высших порядков, раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя – 1 ч.
Цель: формирование умения находить производные высших порядков, вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
14.1. Выучите определение производной n-го порядка. Проанализируйте, как найти производную второго, третьего и четвертого порядков.
14.2. Найдите вторую производную функции:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
14.3. Найдите третью производную функции:
а)
;
б)
.
14.4.
Найдите четвертую производную функции
.
14.5.
Выясните, сколько раз нужно
продифференцировать функцию
,
чтобы в результате получился многочлен
тридцатой степени.
14.6.
Запомните, в каких случаях используется
правило Лопиталя. Выясните, как оно
применяется.
14.7. Установите правильную последовательность косточек математического домино и Вы узнаете титул французского математика Гийома Франсуа Антуана де Лопиталя (1661 – 1704):
автора первого печатного учебника по дифференциальному исчислению;
учёного, в честь которого назван приём раскрытия неопределённостей вида или .
Р 7 |
|
|
И ∞ |
|
|
|
|
|
З 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
A
|
|
|
K
|
|
|
M
|
|
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
I. Понятие производной высших порядков
Пусть
- дифференцируемая на интервале
функция. Тогда ее производная
-
тоже функция, определенная на интервале
.
И у нее можно найти производную, называемую
производной второго порядка или второй
производной. Итак, производная от первой
производной
называется
второй производной функции
и обозначается
или
.
Пример 1.
Найдите вторую производную функции
.
Решение. Найдем
у':
.
Найдем
как производную от у':
=
.
Ответ:
=
.
Вторая производная
– тоже представляет собой функцию,
следовательно, существует производная
второй производной (
)',
называемая третьей производной
или
.
Так, в примере 1.
=(
)'=6.
Аналогично вводится
определение четвертой производной
;
пятой производной
;
п-й производной
.
Таким образом, производной п-го порядка функции называется производная от производной (п-1)-го порядка (если она существует).
Пример 2.
Найдите четвертую производную функции
.
Решение. Найдем у' как производную сложной функции (и=3х):
.
Найдем
как производную от у':
=(
)'=
=
.
=(
)'
=
.
у(4)=(
)'
=
=
.
Ответ: у(4)= .
Пример 3.
Найдите п-ю производную функции
.
Решение. Найдем
как производную сложной функции (и=2х):
=
=
.
=(
)'=
=
.
=(
)'=
=
.
Очевидно, что у(п)=
.
Ответ: у(п)= .