Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной Задание 13. Нахождение производной сложной функции – 0,5 - 1 ч.

Цель: формирование умения находить производную сложной функции.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 13.1. Выучите, какую функцию называют сложной. Запомните правило дифференцирования сложной функции. Изучите технику нахождения производной сложной функции.

13.2. Найдите производную сложной функции:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

13.3. Найдите производную сложной функции в точке:

а) ; б) ; в) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Рассмотрим функции у=f(и) и и=g(x). Тогда функция у=f(g(x)) будет называться сложной функцией. Например, если , а , то будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции используется следующая теорема: если функция g(x) дифференцируема по переменной х, а функция f(и) дифференцируема по переменной и, то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема по переменной х, причем её производная вычисляется по формуле: у'_х=f'(и)·g'(x).

Функцию f(и) называют основной функцией, а и – «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: у'_х=f'(и)·и'.

Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за и, чтобы прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных функций».

Формулы дифференцирования сложных функций

(un)' = п∙un-1·u' ·u' ·u' (sin u)' = cos u·u' (cos u)' = -sin u·u' (tg u)' = ·u' (ctg u)' = - ·u' (eu)' = eu·u' (au)' = au lna·u'

(ln u)' = ·u' (logau)' = ·u' (arcsin u)' = ·u' (arccos u)' =- ·u' (arctg u)' = ·u' (arcctg u)' =- ·u'

Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.

Пример 1. Найдите производную функции .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к показательной функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

= . Заменяя и через придем к производной вида:

= = .

Ответ: .

Пример 2. Найдите производную функции .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к тригонометрической функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:

= = = .

Ответ: .

Пример 3. Найдите производную функции в точке .

Решение. Сначала продифференцируем данную функцию. Функция - сложная функция. Представим исходную функцию в виде степени: . Обозначим и придем к степенной функции вида . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: = = = =

= = . Итак, .

Затем в найденную производную вместо аргумента подставим . Получим: = = = .

Ответ: .

Пример 4. Найдите производную функции у=arcsinе^2х .

Решение. Функция - сложная функция. Обозначим и придем к обратной тригонометрической функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: (arcsin u)' = ·u' = .

Однако, мы видим, что е^2х тоже сложная функция. Обозначив и придя к показательной функции , найдем её производную по таблице производных сложных функций: (здесь мы применили краткую запись решения).

Получили, что = .

Ответ: .

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 34, стр. 211-213.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.1, стр. 119 – 121.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §4, стр. 215– 217.