3. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных.

Вычисление пределов функции можно осуществлять с помощью замечательных пределов:

- первый замечательный предел;

- второй замечательный предел.

Пример 7. Вычислите .

Решение. Поскольку под знаком синуса стоит угол 3х, домножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы выражение под знаком синуса и выражение в знаменателе стали равны: .

Вынесем число 3 за знак предела: .

Применив первый замечательный предел, получим, что .

Ответ: =3.

Пример 8. Вычислите .

Решение. Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы числитель дроби был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель данной дроби на 3; получим дробь вида: . Теперь постараемся преобразовать показатель степени 5х таким образом, чтобы в нем можно было выделить множитель (2х/3). Для этого 5х домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3:

.

П

е

рименив к выражению в скобках второй замечательный предел, получим, что .

Ответ: =

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 6, § 31, стр. 188-198.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 5, §5.2, стр. 99 – 102.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §2, стр. 182 – 192.

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 11. Решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции – 1 ч.

Цель: формирование умения вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва функции и классифицировать их.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 11.1. Выучите определения односторонних пределов функции в точке и проанализируйте, как они вычисляются.

11.2. Вычислите односторонние пределы функции в указанной точке:

а)	б) ;
в)

 11.3. Выучите определения непрерывной в точке и на отрезке функции, точки разрыва функции. Изучите классификацию точек разрыва функции. Выясните, какая техника позволяет находить и классифицировать точки разрыва функции.

11.4. Найдите точки разрыва и определите их род для функции, заданной графически:

а)	б)
в) г)

11.5. Исследуйте функцию на непрерывность в указанных точках. Если точка является точкой разрыва функции, определите ее род:

а) ,

б) ,

11.6. Найдите и классифицируйте точки разрыва для функции:

а) = ;	б) =
в) =

 11.7. Выясните, при каком значении параметра функция = будет непрерывной на всей области определения.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции одним из главных умений является умение вычислять односторонние пределы функции: левосторонний и правосторонний.

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только слева от точки х_о, то такой предел называется левосторонним и обозначается .

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только справа от точки х_о, то такой предел называется правосторонним и обозначается .

Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правосторонний, так и левосторонний пределы, и они равны.

Пример 1. Вычислите односторонние пределы функции

в точке .

Решение. Для нахождения левостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при <-2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: .

При нахождении правостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при > -2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: .

Ответ =2, =0.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х_о, если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Функция у=f(x) называется непрерывной на промежутке (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции (основные элементарные и полученные из них путем выполнения конечного числа арифметических операций или составления сложных функций) непрерывны на области определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х_о называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. и . Если А₁ = А₂, то точка х_о называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва х_о называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности.

Пример 2. Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:

Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют и конечны. Следовательно, точка является точкой разрыва I рода функции. Поскольку односторонние пределы не равны друг другу, точка будет точкой устранимого разрыва.

Ответ: - точка разрыва функции I рода (точка устранимого разрыва).

Пример 3. Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:

Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют , и оба равны бесконечности. Следовательно, точка является точкой разрыва II рода функции.

Ответ: - точка разрыва функции II рода.

Если функция задана аналитически, для нахождения и классификации ее точек разрыва удобно использовать следующую технику:

1) выясните, является ли функция элементарной (если да, то она непрерывна на своей области определения);

2) найдите область определения функции и исследуйте на разрыв точки, не принадлежащие ей (но находящиеся внутри области); если перед Вами – функция – скобка, обратите внимание на повторяющуюся в способе задания точку;

3) найдите односторонние пределы функции в каждой из таких точек и в зависимости от этого классифицируйте разрыв (если односторонние пределы существуют и конечны, в точке - разрыв I рода; если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, в точке – разрыв II рода).

Пример 4. Найдите точки разрыва функции у= и определите их род.

Решение. Функция у= является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.

Найдем D(у): х²-1≠0; х≠1 и х≠-1. Получили, что точки и являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем односторонние пределы функции в указанных точках.

Для точки , следовательно, - точка разрыва II рода.

Для точки ,

. Следовательно, - точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то – точка устранимого разрыва. Положив у= при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Ответ: - точка разрыва функции II рода,

- точка разрыва функции I рода.

Пример 5. Найдите точки разрыва функции у= и определите их род.

Решение. Функция у= состоит из двух частей: у=х-1 (при ) и у=2-х (при ). Функции у=х-1 и у=2-х являются элементарными, непрерывными на множестве R.

Имеет ли функция у= разрыв? Она определена во всех точках отрезка [-1; 4]. Найдем односторонние пределы данной функции в точке .

Левосторонний предел: .

Правосторонний предел: .

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то – точка разрыва I рода.

Ответ: – точка разрыва функции I рода.

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 6, § 32, стр. 199-204.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 5, §5.4, стр. 106 – 110.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §2, стр. 186 – 190.