Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 10. Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей – 1 ч.
Цель: формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
10.1.
Выучите определение предела функции
в точке. Выясните, когда при вычислении
пределов функции в точке возникает
неопределенность вида
и в чем заключается техника ее раскрытия.
10.2. Вычислите предел функции в точке:
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
|
10.3.
Выучите определение предела функции
на бесконечности. Выясните, когда при
вычислении пределов функции возникает
неопределенность вида
и в чем заключается техника ее раскрытия.
10.4. Вычислите предел функции на бесконечности:
а) |
б)
|
в)
|
|
10.5. Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте, как они используются для вычисления пределов.
10.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:
а)
|
б)
|
10.7. Вычислите предел функции:
а)
|
б)
|
в)
|
|
10.8.
Выясните, при каком значении параметра
будет равен -1;
0; 
.
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:
1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число b
называется пределом функции
при
х, стремящемся к хо (или
в точке хо), если для любого
наперед заданного
существует
такое
,
что для всех х, удовлетворяющих
условиям
,
,
имеет место неравенство:
.
Если b
есть предел функции
при
→
то пишут:
.
При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику:
1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 1.
Вычислите:
.
Решение. Подставим в многочлен вместо х значение -1, тогда
=
.
Ответ: =0.
2. Если под
знаком предела стоит отношение двух
многочленов
,
то проверяем, обращается ли при подстановке
хо знаменатель в ноль.
Если не обращается, то предел вычисляется
простой подстановкой.
Если при подстановке хо знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.
Если
,
то имеем неопределенность вида
.
В этом случае предел
можно вычислить разложением многочленов
и
на множители, используя формулы
сокращенного умножения и формулу
разложения квадратного трехчлена на
множители:
,
где х1 и х2 – корни
уравнения
.
Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 2.
Вычислите
.
Решение.
Проверим, какие значения будут принимать
числитель и знаменатель при подстановке
вместо х значения 3:
,
.
Получили неопределенность вида
.
Разложим числитель
на множители по формуле разложения
квадратного трехчлена. Составим уравнение
и найдем его корни:
D
=
;
;
3
или
;
.
Тогда числитель
можно представить в виде произведения
двух множителей:
=
Знаменатель
разложим по формуле разности квадратов:
=
.
Вернемся к исходному пределу:
=
=
.
Ответ:
=
.
3. Если под
знаком предела стоит дробь вида
,
включающая иррациональную функцию
(функцию, содержащую корень), то домножаем
числитель и знаменатель дроби на
выражение, сопряженное иррациональному.
Пример
3. Вычислите
.
Решение.
Поскольку при подстановке в числитель
и знаменатель вместо х значение 0,
получаем неопределенность вида
,
домножим числитель и знаменатель дроби
на выражение
,
сопряженное знаменателю. Получим:
=
.
В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:
.
Вынесем в знаменателе
х за скобки
и сократим дробь на х:
.
Видим, что при подстановке х=0 числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:
=
=
=-8.
Ответ: =-8.
2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число b
называется пределом функции
при
→∞,
если для любого наперед заданного
существует такое
,
что для всех
имеет
место неравенство:
.
Если b
есть предел функции
при
→∞,
то пишут:
.
Для нахождения
пределов функций на бесконечности часто
используют два основных предела:
и
,
где с – константа.
При вычислении предела дроби при →∞ возникает неопределенность вида .Техника ее раскрытия заключается в том, что каждое слагаемое числителя и знаменателя нужно разделить на х в наивысшей степени. Возможны три случая:
1)наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:
Пример 4.
Вычислите
.
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:
=
=
;
Каждое слагаемое
стремится к 0 при
→∞,
тогда
=
=2.
Ответ: =2.
Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.
Пример 5.
Вычислите
.
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х2. Получим:
=
=
=∞.
Ответ:
=
.
Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.
3)наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:
Пример 6.
Вычислите
.
Решение. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х3. Получим:
=
=
=
.
Ответ: =0.
Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.