Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность Задание 9. Виды числовых последовательностей. Определение пределов последовательностей – 0 - 0,5 - 1 ч.

Цель: формирование умения классифицировать числовые последовательности и вычислять их пределы.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 9.1. Выучите определение числовой последовательности, видов числовой последовательности (возрастающей, убывающей, ограниченной), предела числовой последовательности.

9.2. Выпишите первые пять членов числовой последовательности, классифицируйте данную последовательность по критериям монотонности и ограниченности, найдите её предел:

а) а_n = ; б) а_n = ; в) а_n = ; г) а_n = .

9.3. Используя материал учебника, составьте опорный конспект по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности, число е» по следующему плану:

• определение бесконечно малой числовой последовательности, пример такой последовательности;

• определение бесконечно большой числовой последовательности, пример такой последовательности;

• теорема, устанавливающая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими числовыми последовательностями;

• теорема Вейерштрасса (признак существования предела последовательности);

• числовая последовательность, приводящая к числу е.

9.4. Найдите предел числовой последовательности:

а) ; б) ; в) ; г) .

9.5. Используя дополнительную литературу, найдите апории философа Зенона Эллийского (490-430 г. до н.э.) - задачи, содержащие в себе противоречия. Попробуйте объяснить причину возникающих противоречий с точки зрения математики. Возможно ли решение этих задач на основании понятия предела последовательности?

Методические указания по выполнению работы:

Знание следующего теоретического материала будет Вам полезно при классификации и нахождении предела числовой последовательности.

Бесконечной числовой последовательностью называется функция , заданная на множестве натуральных чисел (п N). Для обозначения числовой последовательности принята следующая запись: {а_n}.

Последовательность {а_n} называется убывающей, если каждый последующий член последовательности меньше или равен предыдущему, т.е. если ( ) для всех п N.

Последовательность {а_n} называется возрастающей, если каждый последующий член последовательности больше или равен предыдущему ( ).

Последовательность {а_n} называется ограниченной, если существуют числа М и m такие, что для любого номера n имеет место неравенство: m  a_n  M.

Геометрически ограниченность последовательности {а_n} означает существование отрезка [m; M], на котором помещены все члены этой последовательности. Для неограниченной последовательности {а_n} отрезка [m; M], которому принадлежат все члены a_n, не существуют.

Число a называется пределом последовательности {а_n}, если для любого наперед заданного положительного числа  найдется такое натуральное число N, что для любого номера элемента

n > N выполняется неравенство: |a_n – a| < . В этом случае пишут .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Для практического нахождения пределов числовых последовательностей используют следующие свойства пределов:

Пусть {а_n} и {b_n} – сходящиеся последовательности, т.е. , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Для любого числа k последовательность {kа_n} также сходится, причем = .

3. Сумма (разность) а_n± b_n также сходится, причем

= .

4. Произведение а_n b_n также сходится, причем

= .

5. При дополнительном условии b≠0 частное также сходится, причем .

Проиллюстрируем использование теоретического материала при исследовании числовых последовательностей.

Пример 1. Исследуйте числовую последовательность а_n = .

Решение: Выпишем элементы числовой последовательности, поочерёдно подставляя вместо n значения 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. Получим бесконечное числовое множество: { ; ; ; ; ; …}

Последовательности соответствует следующее геометрическое изображение:

а

0 1

Последовательность убывающая, т.к. > > > > … > > …

Она ограничена, т.к. существует m=0 и М= , такие, что 0a_n . Геометрически все элементы последовательности принадлежат промежутку (0; ].

Покажем, что . Выберем любую точность >0 (например, =0,001). Тогда найдется натуральное число N (в нашем случае N=9), такое что для всех n > N выполняется неравенство: <  (уже для п=10 будет меньше =0,001).

Пример 2. Исследуйте числовую последовательность 3п-2.

Решение: Подставляя вместо n значения 1, 2, 3 и т.д., найдем следующие элементы последовательности: {1; 4; 7; 10; 13; 16…}.

Последовательности {3п-2} соответствует следующее изображение:

а

7

100

130

1

Последовательность {3п-2} является возрастающей, т.к. каждый следующий член последовательности больше предыдущего: 1 < 4 < 7 < 10 < … < 3п-2< …

Она не ограничена, т.к. не существует числа М, которое бы ограничивало последовательность сверху.

Последовательность {3п-2} не имеет предела, т.к. ее элементы неограниченно возрастают, следовательно, эта последовательность является расходящейся ( ).

Пример 3. Найдите предел последовательности .

Решение. Числитель и знаменатель представляют собой расходящиеся последовательности (так как они не ограничены), поэтому непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя. В этом случае поступим так: числитель и знаменатель разделим на п (от этого дробь не изменится), а затем применим теоремы о пределах последовательностей. Приведем подробную запись вычисления предела:

.

Ответ: =

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 4, §4.1-4.4, стр. 82 – 95.

2. Источники литературы, найденные самостоятельно.

3. Материалы сети Интернет.