Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка Задание 7. Составление уравнений прямых – 0,5 ч.

Цель: формирование умения составлять уравнения прямых на плоскости.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 7.1. Опираясь на обобщающие таблицы, изучите, какими способами можно задать прямую, и какие виды уравнения прямой существуют.

7.2. В треугольнике заданы координаты вершин (-5; 3), (2; -1), (6; 3). Составьте уравнение:

а) прямой ;

б) медианы ;

в) прямой, проходящей через точку параллельно ;

г) прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом =3.

7.3. - трапеция с основаниями и , в которой (-2; 1), (1; 2), (4; -1), (-2; -3).

Составьте уравнение:

а) диагонали в каноническом виде;

б) прямой, параллельной основаниям, проходящей через точку (-3; -1) в параметрическом виде;

в) прямой, проходящей через точку и образующей с положительным направлением оси угол (вид уравнения прямой – с угловым коэффициентом);

г) средней линии трапеции в каноническом виде;

д) прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

7.4. Запишите уравнение прямой во всех видах (общем, каноническом, параметрическом, с угловым коэффициентом) и постройте эту прямую:

а) ; б)

Методические указания по выполнению работы:

Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Прямые – самые простые линии на плоскости. Им соответствуют уравнения первой степени.

При решении задач удобно использовать следующие обобщающие таблицы:

Способы задания прямой

№	Способ задания	И сходные данные	Уравнение прямой
1	С помощью точки и направляющего вектора	,
2	Через две точки
3	Через точку с заданным угловым коэффициентом	k = tg 

Виды уравнений прямой

№	Вид	Уравнение прямой
1	Общее уравнение прямой	Аx + By + C = 0
2	С угловым коэффициентом k ( k = tg .)
3	Каноническое ( - координаты точки, - направляющего вектора)
4	Параметрическое ( - координаты точки, - направляющего вектора)

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(3;-2) и имеющей направляющий вектор в каноническом и параметрическом виде.

Решение: Определим способ задания прямой: с помощью точки и направляющего вектора .

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение : - канонический вид.

Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение : - параметрический вид.

Ответ: ,

Пример 2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А(2; 3) и В(7; 5).

Решение: Подставив в формулу координаты данных точек, получим искомое уравнение прямой: .

Ответ: l: .

Пример 3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M₀(-3; 2) и образующей с положительным направлением оси ОХ угол

Решение: Найдём угловой коэффициент прямой: k = tg . k = tg ; k = 1.

Подставим k и координаты точки M₀ в уравнение :

Ответ:

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 4, §19 – 21, стр. 122 – 132.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 3, §3.4, стр. 61 – 63.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §5, стр. 141 - 149.