Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами Задание 6. Операции над векторами в координатах – 1 ч.

Цель: формирование умения выполнять основные операции над векторами в координатах.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 6.1. Выучите определение свободного вектора, координат вектора на плоскости. Пользуясь обобщающей таблицей, проанализируйте, какие операции над векторами в координатах выполнимы, в чем заключаются признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов.

6.2. В треугольнике вершины имеют координаты (2; -1), (5; -5), (8; -5). Найдите:

1) координаты вектора ;

2) длину стороны ;

3) координату точки - середины отрезка ;

4) длину медианы ;

5) координаты вектора ;

6) косинус угла между векторами и ;

 7) треугольник достроили до параллелограмма ; найдите координату вершины .

Решив задания 1 - 6 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете, какой профессии были отданы три года жизни создателя аналитической геометрии Рене Декарта (1596-1650).

Профессия:

1	2	3	4	5	6

Карта ответов:

Е	И	Й	Н	О	Р	У	Ф	Ц	Ч	Ы
(3;-12)	(5;-3)	(-3;4)	1	(3;-4)	0,6		5	2	(10;-6)	-0,2

6.3. При каком значении т векторы = (-4; 1) и =(т; -2)

а) взаимно перпендикулярны; б) коллинеарны.

6.4. Докажите, что , где (-2; 1), (1; 2), (4; -1), (-2; -3) – трапеция с основаниями и . Определите, является ли трапеция равнобокой. На оси ОХ найдите координаты точки, равноудаленной от точек А и В.

Методические указания по выполнению работы:

Вектор – это направленный отрезок. Все равные между собой направленные отрезки называют свободным вектором.

Коэффициенты (x; y) разложения вектора по векторам (единичным взаимно перпендикулярным векторам) называют координатами вектора на плоскости.

При решении задач по теме «Векторы» используйте следующие рекомендации:

1. Выпишите исходные данные – дано. Если в условии задачи сказано о коллинеарности, перпендикулярности, равенстве длин векторов, то это также необходимо выписать.

2. Определите, что нужно найти или что доказать в соответствии с условием задачи.

3. Опираясь на то, что нужно найти, попытайтесь поискать ключ к решению: выбрать в таблице нужные операции или использовать признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов, сформулированные в теоремах 1 и 2.

Операции над векторами в координатах

№	Вид операции	Исходные данные	Операции в координатах
1	Координаты вектора	А (х1; у1); В (х2;у2)
2	Длина вектора
3	Сложение и вычитание векторов
4	Умножение вектора на число	;
5	Скалярное произведение векторов
6	Угол между векторами
7	Координаты середины отрезка	А (х1; у1); В (х2;у2)
8	Расстояние между точками	А (х1; у1); В (х2;у2)

Теорема 1. Если векторы и коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

если = (х₁; у₁) и = (х₂; у₂) коллинеарны, то .

Теорема 2. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны: ( ) .

Пример 1. Даны точки А(4;-3), В(-2;-9).

Найти: 1) координаты вектора ;

2) длину вектора ;

3) координаты точки М – середины АВ.

Решение:

1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора: .

Тогда ; .

2) Зная координаты вектора , найдем его длину по формуле: .

.

3) Пусть точка М – середина отрезка АВ. Тогда ее координаты находятся по формуле: : М ; М (1; -6).

Ответ: =(-6; -6), , М (1; -6).

П ример 2. Даны , .

Найдите: 1) ; 2) ; 3)

Решение:

1) Вектор задан в виде разложения по базисным векторам . Его координаты находятся как коэффициенты разложения вектора по базису: .

Найдем координаты векторов и по формуле: . Тогда

= (6; -10); = (12; 3).

Воспользуемся формулой нахождения суммы и разности векторов: . Получим, что = (6-12; -10-3); = (-6; -13).

2) Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения векторов: .

Получим: ;

; .

3 ) Найдем косинус угла между векторами по формуле = .

; ;

=

О твет: 1) = (-6; -13); 2) ; 3) = .

Пример 3. При каком значении n векторы ,

1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Решение:

1) Воспользуемся теоремой 1: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Получим, что

; .

Следовательно, при n= – 4 векторы и коллинеарны.

2) Воспользуемся теоремой 2: если .

 –2 + 8n = 0; 8n = 2; n = ; n = ; n = 0,25.

Следовательно, при n = 0,25 векторы и перпендикулярны.

Ответ: 1) n = – 4; 2) n = 0,25.

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 2, § 8 – 10, стр. 63 – 73.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 3, §3.1, 3.2, стр. 53 – 60.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §1 - 4, стр. 125 - 141.