Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1.2. Системы линейных уравнений Задание 5. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса – 1 ч.

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:

а) б)

5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:

а) б) в)

 5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.

1. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель ∆, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

где ∆_х – определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при x столбцом свободных членов;

∆_у - определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при у столбцом свободных членов;

∆ _z - определитель, полученный из определителя ∆ заменой столбца коэффициентов при z столбцом свободных членов.

Пример 1. Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Решение. Составим определитель ∆ из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель ∆ отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим ∆_х, ∆_у и ∆_z:

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1. Составьте расширенную матрицу системы – матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.

2. С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.

3. Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

1. число уравнений не равно числу неизвестных.

2. если в правиле Крамера ∆ = ∆_х= ∆_у = ∆_z= 0.

Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений):

система линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы r, причем:

1. если r = n (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;

2. если r < n (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2 – 4.

Пример 2. Решите систему уравнений методом Гаусса:

Р ешение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы А систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: z = 1.

Подставим z = 1 во второе уравнение системы: y – 1 = 1; y = 2.

После подстановки z = 1 и y = 2 в первое уравнение получим: x + 4·2 - 3·1 = 9;

x = 9 – 8 + 3; x = 4. Итак, x = 4, y = 2, z = 1.

Проверка:

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: x = 4, y = 2, z = 1.

Пример 3. Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

~

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть z – свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения y: y = -z – 2.

Подставим данное выражение y = -z – 2 во второе уравнение:

x = -2у – 3; x = -2·(-z - 2) – 3; x = 2z + 4 – 3; x = 2z + 1.

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: (2z + 1; -z – 2; z).

Ответ: (2z + 1; -z – 2; z).

Пример 4. Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

~

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 2, §2.4, стр. 37 – 51.

2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 1, §5, 6, стр. 85 – 91.