Закон сопротивления Пуазейля – Хагена
Подставив в (2.28) и (2.32) значения параметров а = в = R, найдем:
; 
. (2.34)
Из (2.31) при а = в = R определим
. (2.35)
Формула (2.35) выражает известный закон Пуазейля – Хагена для установившегося ламинарного движения вязкой несжимаемой жидкости через трубу круглого сечения.
В гидродинамике часто используется коэффициент гидросопротивления:
(2.36)
Для труб круглого сечения эту формулу часто преобразуют к виду
, (2.37)
где
- коэффициент гидросопротивления всего
участка трубы;
- коэффициент гидросопротивления одного
калибра трубы;
- число калибров трубы; d
- диаметр трубы.
Используя значение
в (2.34), преобразуем (2.37) к виду:
, (2.38)
где
.
Эта формула Пуазейля получена теоретическим путем на основании решения системы уравнений Навье-Стокса.
Из (2.37) определим отношение коэффициентов сопротивления труб с эллиптическим и круглым сечениями:
.
Отношение давлений найдем из формул (2.32) и (2.34):
.
Подставив это отношение в предыдущую формулу, получим
, (2.39)
где
.
Из этого соотношения видно, что структура формулы для определения коэффициента сопротивления при ламинарном течении существенно зависит от выбора характерного размера трубы некруглого сечения.
Если за характерный размер
принять эффективный диаметр
,
определяемый по формуле:
, (2.40)
то формула Пуазейля (2.38) останется без изменения:
, (2.41)
где
.
Очень часто для приближенного определения сопротивления труб некруглого сечения используют понятие гидравлического диаметра:
, (2.42)
где S, П - площадь и смачиваемый периметр сечения трубы.
Для трубы эллиптического сечения получим:
. (2.43)
Если за характерный размер при определении числа Рейнольдса принять гидравлический диаметр (2.43), то формула для нахождения коэффициента гидравлического сопротивления примет вид:
(2.44)
где .
Таким образом, при использовании в качестве характерного размера гидравлического диаметра структура формулы для определения коэффициента гидросопротивления уже отличается от структуры формулы Пуазейля (2.38). Величина константы очень сильно зависит от формы поперечного сечения трубы. Поэтому при расчете гидросопротивления трубы с некруглым поперечным сечением и ламинарным течением жидкости нужно внимательно следить за тем, какой размер в трубе принят за характерный. При турбулентном режиме течения жидкости в трубе некруглого сечения структура формулы для определения коэффициента сопротивления остается неизменной при использовании в качестве характерного размера гидравлического диаметра.
Условием равновесия объема жидкости между сечениями S1 , S2 является
,
где - среднее по периметру напряжение трения на стенке трубы.
Его величина будет равна
(2.45)
Краткое описание структуры программы polyfem
Программа POLYFEM состоит из нескольких модулей, взаимосвязь между которыми показана на рисунке 2.3. Модули имеют расширение .ехе. Выбрав в библиотеке компьютера программу POLYFEM и обратившись к резидентному загрузчику pfem.ехе, пользователь передает управление интегрирующей оболочке. На экране высвечивается эмблема POLYFEM и главное меню пакета FEMMENU. Сразу после входа в главное меню доступны для выбора только три его пункта: выбор модели, временный выход в DOS и завершение работы.
Следует обратиться к пункту меню «Выбор модели», и из перечисленных моделей с расширением .top выбрать необходимую. Если модель ранее не была создана, то нужно набрать на клавиатуре ее имя без расширения с соблюдением требований DOS к именам файлов. После выбора модели становится доступным пункт главного меню «Цифровой редактор» редактора геометрии области FEMTED.
Редактор будет работать с моделью, имя которой пользователь уже присвоил. При этом станет доступным меню редактора FEMTED. Пользуясь этим меню, описывается геометрия расчетной области и составляется список граничных условий. Геометрия расчетной области описывается в терминах базовых точек, базовых линий и базовых подобластей. Если расчетная область многосвязная, то ее разбивают на подобласти с односвязными границами. Границами подобластей являются отрезки прямых и дуги окружностей, называемые базовыми линиями. Базовые линии задаются двумя базовыми точками в случае отрезка прямой или двумя базовыми точками и некоторой средней базовой точкой (не обязательно геометрической серединой) в случае дуги окружности. На этапе постановки задачи необходимо начертить эскиз расчетной области со всеми базовыми точками, линиями и подобластями и пронумеровать базовые объекты каждого типа, начиная с единицы без пропусков. Порядок нумерации объектов каждого типа значения не имеет.
Построение сетки осуществляется либо выбором пункта меню редактора геометрии области FEMTED «Триангуляция», либо после возврата в главное меню POLYFEM выбором пункта «Генератор сетки».
После успешного построения сетки следует обратиться к пункту главного меню «Процессор решения». В результате станет доступным меню редактора физических параметров FEMSLV. Двигаясь по его пунктам: материалы, граничные условия, утилиты (масштабирование) - и заполняя соответствующие таблицы, в конце меню следует выбрать пункт «Решение». В результате запустится решатель задачи или процессор решения FEMSOLV, который формирует матрицу системы линейных алгебраических уравнений по методу конечных элементов и решает эту систему.
Решение представляет собой массив вещественных чисел, количество которых равно количеству узлов сетки. Каждое число является значением искомой переменной в данном узле.
В практических расчетах часто бывает необходимым решить серию задач на одной и той же сетке, варьируя значениями граничных условий или свойствами материалов. В программе POLYFEM предусмотрена двухуровневая система хранения решений. Один или несколько массивов вещественных чисел (решений) могут быть помещены последовательно в файл. В этом случае файл называется «Версией» решения, а каждый из массивов – «Записью». Версии решения обозначаются одним алфавитно-цифровым символом (латинской буквой или цифрой). Записи в пределах конкретной версии обозначаются порядковым номером, начиная с единицы. Пользователь сам решает - поместить ли ему очередное решение в отдельную версию или записать его в существующую версию очередной записью.
При нормальном завершении работы процессора решения происходит возврат в главное меню. Для анализа решения следует войти в пункт главного меню «Графика». Используя меню пункта «Графика», можно осуществить заливку разным цветом, построить изолинии, а с помощью метки снять численные значения искомой переменной в любой точке расчетной области. Численные значения можно определить также с помощью пунктов меню «Графика»: «Постпроцессор», «Число точек», «Значение», «Вдоль прямой». Появившуюся метку устанавливают в начале и конце прямой линии и отмечают при этом клавишей ENTER. Численные значения скорости жидкости и координаты точек переписывают из появившейся таблицы.