Методы конечных разностей
При использовании метода конечных разностей дискретные аппроксимации производных, входящих в дифференциальные уравнения, очень часто получают на основе разложения функций в ряд Тейлора, например, вида:
; (2.7)
. (2.8)
Из (2.7) найдем правостороннюю производную:
,
а из (2.8) - левостороннюю производную:
,
где
- номера узлов в сетке с координатами
;
-погрешность аппроксимации порядка
,
то есть
;
К - вещественная константа;
- читается «ордо дельта х» или «порядка дельта х».
Из (2.7) и (2.8) путем вычитания можно также получить центрально-разностную аппроксимацию:
,
имеющую более высокий порядок точности, чем односторонние производные.
Сложив (2.7) и (2.8), найдем конечно-разностную аппроксимацию производной второго порядка:
.
Аналогичные производные можно определить для координаты у. Подставив значения найденных производных в дифференциальные уравнения, получим их дискретные аппроксимации или дискретные аналоги. Существуют также и другие способы дискретизации производных /1/.
Методы конечных элементов
При использовании метода конечных элементов (МКЭ) применяются в основном два подхода: вариационный и на основе метода Галёркина.
Исторически сложилось так, что МКЭ начал развиваться на основе вариационного принципа. В вариационном исчислении отмечается, что для определенного вида дифференциальных уравнений 2-го порядка (Эйлера-Лагранжа) можно построить соответствующий функционал, являющийся обобщением понятия функции, когда каждому элементу из множества функций ставится в соответствие определенное число I(Ф). Например,
. (2.9)
В этом случае функция Ф(х), являющаяся решением дифференциального уравнения Эйлера-Лагранжа, одновременно обеспечивает минимальное значение функционалу (2.9). Лучше численно минимизировать (2.9), чем численно решать дифференциальное уравнение 2-го порядка Эйлера-Лагранжа, так как в (2.9) входят производные только первого порядка. К сожалению, не всякое дифференциальное уравнение имеет соответствующий функционал. Уравнения, описывающие движение жидкости, не имеют соответствующих функционалов. В принципе для этих уравнений, как показывается в теории, можно построить так называемые псевдофункционалы, но в этом случае математические выражения получаются очень громоздкими. Поэтому в МЖГ большее распространение получил подход на основе метода Галёркина.
В методе Галёркина весовая функция, входящая в интеграл минимизации взвешенных невязок (2.6), выбирается из того же семейства функций, что и базисная функция, то есть
.
В МКЭ интеграл (2.6) представляется в виде суммы взвешенных невязок по каждому конечному элементу, на которые разбивается вся область:
; (2.10)
, (2.11)
где
,
- весовые функции в
и на границе области Г;
;
- сумма конечных элементов и участков
границы
области Г;
е, Е - номер и количество элементов.
Конечные элементы могут быть разнообразной формы. Наиболее распространенные в плоском случае – треугольные, а в пространственном случае - в виде тетраэдра. На каждом конечном элементе фиксируется конечное число точек, общих с узловыми точками соседних конечных элементов. Искомая функция Ф на каждом конечном элементе аппроксимируется линейной комбинацией базисных функций с коэффициентами, равными узловым значениям искомой функции, например,
, (2.12)
где
-
неизвестное значение искомой функции
в m-ом узле e-го
конечного
элемента;
M - общее число узлов в
;
-
система базисных функций, выбираемых
таким образом, что базисная
функция в узле m равна единице, а в остальных узлах равна нулю.
Базисные функции очень часто полагают линейными, например, в плоском случае
(2.13)
где
,
,
- коэффициенты, находящиеся из условия
и
,
;
- координаты узлов в треугольном конечном
элементе,
несовпадающие с узлом
.
Используя (2.12) и (2.13) и подставляя их в (2.10) и (2.11), можно получить систему алгебраических уравнений, необходимых для определения М узловых значений искомой функции Ф.