Различные модификации уравнений массоотдачи и массопередачи Уравнения материального баланса, рабочих и равновесных линий массообменных процессов

Пусть в типичном цилиндрическом вертикальном аппарате для проведения массообменных процессов противотоком друг другу, в режиме идеального вытеснения, движутся две фазы I и II с расходами G и L, концентрацию распределяемого компонента в них обозначим y и x. Допустим, что концентрации могут изменяться только по высоте аппарата, являясь постоянными или средними для каждого поперечного сечения, т.е. упростим задачу до одномерной. Единицы измерения расходов лучше выбрать такими, чтобы расходы фаз не изменялись по высоте аппарата (кг/с инертного компонента при абсорбции, кмоль/с смеси при ректификации и т.д.).

В стационарных условиях закон сохранения массы (вещества) для всего аппарата рис.1 может быть записан в соответствии с (3.3) в виде уравнения материального баланса: суммарный приход массы (вещества) должен равняться расходу

(6)

Можно записать материальный баланс по распределяемому компоненту при отсутствии химических реакций

(7)

Рис. 1. Схема массообменного процесса в вертикальном противоточном аппа-рате: L, G - расходы фаз; х, y - концентрации распределяемого компонента в в фазах; индексы «н» и «к» - начальное и конечное состояния; I, II - номера фаз; А‑А - произвольное поперечное сечение аппарата.

В случае постоянства расходов G, L=const уравнение (7) упрощается

(8)

или для элементарного участка аппарата

(9)

Знак минус свидетельствует о противоположном изменении концентрации распределяемого компонента в фазах:, если в одной фазе концентрация увеличивается, то в другой - уменьшается.

Из уравнения материального баланса можно получить уравнение рабочей линии. Запишем уравнение материального баланса для участка аппарата от нижнего сечения до некоторого текущего А‑А (рис.1) и разрешим его относительно концентрации распределяемого компонента в одной из фаз

(10)

(11)

Это уравнение называется уравнением рабочей линии противоточного массообменного процесса, связывающего рабочие концентрации распределяемого компонента в фазах для произвольного сечения аппарата. Под рабочими концентрациями понимают средние по сечению или неизменные в сечении аппарата концентрации ядра фазы. В случае постоянства расходов уравнение рабочей линии упрощается

(12)

Это уравнение прямой линии можно представить в виде

, где , (13)

Аналогичным образом может быть получено уравнение рабочей линии для прямоточного движения фаз.

, где , (14)

Запишем уравнение равновесной линии, связывающее рабочую концентрацию распределяемого компонента в одной из фаз с его равновесной концентрацией в другой фазе. Под равновесной концентрацией в произвольном сечении аппарата понимают концентрацию компонента в фазе, находящейся в равновесии с другой, состав которой определяется рабочей концентрацией. Уравнение равновесной линии может быть записано

(15)

здесь y* - равновесная концентрация в фазе I, x - рабочая концентрация в фазе II, m - коэффициент распределения. Величина m может быть постоянной (для разбавленных растворов) и равновесная линия будет прямой, а также зависеть от x, тогда равновесная линия будет кривой.

Рис. 2. Рабочие (1 и 2) и равновесные линии на x-y диаграмме: 1 - противоточное и 2 - прямоточное движение фаз.

На рисунке 2 изображены рабочие и равновесные линии, причем рабочая концентрация в фазе I превышает равновесную. При стремлении системы к состоянию равновесия, рабочая концентрация в каждой из фаз сближается к равновесной. Если рабочая концентрация распределяемого компонента в фазе выше равновесной, то он будет уходить из данной фазы в другую, где его концентрация ниже равновесной. В данном случае распределяемый компонент будет переходить из фазы I в фазу II, так как . В случае, если рабочая концентрация компонента равна равновесной межфазный перенос вещества отсутствует. Таким образом, по взаимному расположению рабочей и равновесной линий можно судить об отсутствии или наличии процесса массопередачи, а также о его направлении. Можно так же предположить, что величина межфазного потока компонента будет пропорциональна отклонению системы от состояния равновесия, то есть разнице рабочей и равновесной концентраций. Подтвердим данное предположение.

Уравнение массопередачи в локальной форме

Запишем уравнения массоотдачи для двух фаз I и II, обозначив их индексами y и x соответственно. В качестве движущих сил используем разность концентраций. Предположим, что распределяемый компонент переходит из фазы I в фазу II.

(16) (17)

где х, y - рабочие концентрации распределяемого компонента в фазах.

Используем допущение об отсутствии сопротивления переносу вещества со стороны межфазной поверхности или равновесии на границе раздела фаз, выразив его в виде

или (18)

Если коэффициент распределения не зависит от состава фазы, m(x^г) = m(x) = m, то

(19) (20)

(21) (22)

Итак, мы получили уравнения массопередачи, движущими силами которых являются разности рабочей и равновесной концентраций компонента в одной из фаз. Использование коэффициента массопередачи K_y или K_x зависит от выбора фазы, через концентрации в которой записана движущая сила. При расчете и использовании коэффициентов массоотдачи и массопередачи необходимо соблюдать соответствие размерностей потоков, движущих сил, коэффициентов распределения, массоотдачи и массопередачи. Если движущая сила выражена в мольных долях, а поток вещества в кмоль/(м²с), то коэффициенты массоотдачи и массопередачи будут иметь размерность кмоль/(м²с мольная доля). Коэффициент распределения при этом так же должен связывать равновесные концентрации компонента, выраженные в мольных долях.

Интегральная форма уравнения массопередачи

Проинтегрировав уравнения (13.82), (13.87) по величине межфазной поверхности всего аппарата или его участка можно получить уравнения массопередачи в интегральной форме

(23)

Практический смысл эти уравнения приобретают в случае, если величины коэффициентов массопередачи на рассматриваемом участке интегрирования можно считать постоянными K_y, K_x = const. Тогда их можно вынести из под интеграла и записать

(24)

(25)

(26)

(27)

Уравнения (24) и (26) носят название основных уравнений массопередачи.

Расчет средних движущих сил массопередачи предусматривает нахождение определенного интеграла. В частном случае, если в пределах интегрирования коэффициент распределения m = const или линию равновесия можно аппроксимировать прямой, средняя движущая сила определяется средней логарифмической величиной:

(28)

где y_в и y_н движущие силы массопередачи в верхнем и нижнем сечениях аппарата (участка аппарата). Аналогичное соотношение справедливо и для x_cp.

Если линия равновесия обладает существенной кривизной, то интегралы могут находиться аналитически, при условии, что это позволяют зависимости m(x), m(y), либо численными методами на ЭВМ. Возможно и графическое интегрирование. Однако при этом необходимо помнить, что в этом случае K_y , K_x ,по-видимому, нельзя считать постоянными величинами. Один из путей решения проблемы - разбиение аппарата на ряд участков (m), для каждого из которых K_y , K_x можно считать постоянными.

Для неизменности коэффициентов массопередачи по высоте аппарата необходимо, чтобы _x, _y, m = const или при постоянных коэффициентах массоотдачи возможность аппроксимации линии равновесия прямой на участке интегрирования, либо совокупное изменение этих величин, приводящее к неизменности коэффициентов массопередачи. Последнее крайне маловероятно. В случаях если эти условия не выполняются и K_y, K_x  const, либо не соблюдается постоянство расходов фаз по высоте аппарата, или структура потока не соответствует модели идеального вытеснения, то для определения поля концентраций по высоте аппарата x(L), y(L), средней движущей силы y_cp , количества вещества переносимого в аппарате из одной фазы в другую за единицу времени необходимо решать систему дифференциальных уравнений.

Структура потока влияет на величину средней движущей силы массопередачи так же как и на среднею движущую силу теплоотдачи или теплопередачи.

Объемные коэффициенты массоотдачи и массопередачи

Как уже отмечалось, зачастую, бывает сложно определить поверхность контакта фаз в реальном аппарате, так как она может складываться из поверхности струй, пузырей, капель и т.д. Это затрудняет использование основного уравнения массопередачи, содержащего величину F. Один из путей решения данной проблемы заключается в применении модифицированных уравнений массоотдачи и массопередачи, в которые межфазная поверхность F не входит.

Используем понятие удельной поверхности контакта фаз, т.е. поверхности контакта, образующейся в единичном рабочем объеме аппарата

м²/м³ (29)

Выразив F=a V перепишем уравнения массоотдачи и массопередачи в виде

(30)

(31)

(32)

(33)

Коэффициенты массопередачи и массоотдачи с индексами “v” называются объемными и связаны с обычными, отнесенными к поверхности контакта фаз, простыми соотношениями

(34)

Выражения объемных коэффициентов массопередачи через объемные коэффициенты массоотдачи аналогичны полученным ранее. Если нам известны объемные коэффициенты массоотдачи или массопередачи, то просто определить, в зависимости от постановки задачи, рабочий объем аппарата V или количество вещества передаваемое из одной фазы в другую . При этом нет необходимости решать сложную задачу определения удельной поверхности контакта фаз а.

Однако объемные коэффициенты сложнее найти теоретически. Затруднительно получить для них и обобщенные уравнения методом физического моделирования. Следует обратить внимание на размерность объемных коэффициентов массоотдачи и массопередачи. В системе СИ они измеряются в [с^-1].

При расчете аппаратов со ступенчатым контактом фаз коэффициенты массоотдачи и массопередачи удобнее относить не к объему аппарата, а к площади рабочего сечения контактного устройства f, например, площади рабочего сечения тарелки. Вводя удельную поверхность контакта фаз a_f (межфазная поверхность, образующаяся на данном контактном устройстве, отнесенная к его рабочему сечению), можно записать уравнение массопередачи следующим образом

(35)

(36)

Аналогичным образом можно переписать и другие уравнения с использованием коэффициентов массопередачи и массоотдачи, отнесенных к площади рабочего сечения контактного устройства

. (39)