Робота 7. Дослідження електричного кола змінно-го струму з паралельним з’єднанням активних і реактивних елементів

7.1. Мета роботи

Дослідити режими роботи електричного кола з паралельним з’єднанням котушки індуктивності і ємності при різних частотах, і експериментально визначити L і C, при яких виникає резонанс.

7.2. Короткі теоретичні відомості

На відміну від кола з послідовним з’єднанням, в якому струм у всіх елементах однаковий, в колах з паралельним з’єднанням віток однаковою буде напруга на цих вітках. Тому метою досліджень будуть струми віток.

Рис. 7.1.

На прикладі кола, яке складається з паралельно ввімкнених котушки з індуктивністю L і активним опором R₁ та конденсатора С, можна дослідити зв’язки між напругою живлення U і струмами і, і₁, і_С (рис. 7.1) за допомогою векторної діаграми. Побудову векторної діаграми починають з вектора напруги . Модуль вектора струму котушки

/7.1/

оскільки R₁ і x_L= ωL з’єднані послідовно. Відкладають цей вектор відносно вектора під кутом

/7.2/

Вектор розкладають на активну I_a =I₁cosφ₁ і реактивну I_L=I₁sinφ₁ складові, як показано на рис.7.2.

М одуль вектора струму обчислюють, користуючись формулою

/7.3/

Вектор струму випереджає вектор напруги на кут .

Струм в нерозгалуженій частині кола дорівнює геометричній сумі струмів віток:

Модуль цього вектора

/7.4/

а кут між векторами і знаходять безпосередньо із векторної діаграми або обчислюють за формулою

/7.5/

Активна складова струму першої вітки

/7.6/

де – активна провідність першої вітки.

Реактивна складова струму першої вітки

/7.7/

де – індуктивна провідність першої вітки.

Струм другої вітки

, /7.8/

де b=С – ємнісна провідність другої вітки.

Підставимо в /7.4/ замість струмів у вітках їх значення згідно формул /7.6/, /7.7/ і /7.8/ і одержимо

/7.9/

де Y – повна провідність кола.

Якщо в колі паралельно з’єднано n віток, то активна провідність кола

; /7.10/

реактивна індуктивна провідність кола

/7.11/

і реактивна ємнісна провідність кола

/7.12/

де і – номер вітки кола (і=1, 2, …, n).

Повна провідність кола

/7.13/

Отже, як і в /7.9/, закон Ома для кола з паралельним з’єднанням n віток має вигляд

I=YU. /7.14/

Як видно з рівняння /7.13/ характер струму в колі з паралельним з’єднанням віток залежить від величини провідностей та різниці b_L і b_C.

При b_L > b_C струм I_L > I_C і повна провідність буде мати активно-індуктивний характер. Струм в нерозгалуженій частині кола (рис.7.1) буде відставати від напруги на кут , як показано на векторній діаграмі (рис. 7.3, а).

При b_L < b_C струм I_L < I_C і повна провідність кола буде активно-ємнісною. Струм в нерозгалуженій частині буде випереджати напругу на кут , як показано на векторній діаграмі (рис. 7.3, б).

При b_L = b_C струм I_L = I_C, провідність кола стає рівною активній провідності (Y=g). Струм в нерозгалуженій частині кола збігається з напругою і визначається лише активною складовою провідності. Це явище спостерігається при резонансі струмів. При цьому відбувається обмін енергією магнітного поля котушки індуктивності з енергією електричного поля конденсатора з частотою 2ω. При резонансі струми I_L і I_C можуть значно перевищувати струм в нерозгалуженій частині кола, як видно з векторної діаграми (рис. 7.3, в). Тому резонанс в колі з паралельним з’єднанням віток називають резонансом струмів.

Для електричних кіл з n паралельними вітками умовою резонансу струмів є рівність реактивних провідностей:

/7.15/

Для кола, що на рис. 7.1, умовою резонансу є

або /7.16/

З рівняння /7.16/ видно, що резонансу струмів в колі можна досягнути зміною частоти ω, індуктивності котушки L або ємності С.

Якщо L і С сталі величини, то частота, при якій виникає явище резонансу, називається резонансною і позначається ω₀. Згідно з /7.16/ резонансна частота

/7.17/

На відміну від кола з послідовним з’єднанням R, L і С елементів, в якому власна частота коливань в колі з паралельним з’єднанням ω₀ залежить не тільки від L і С, а також від активного опору R₁. Із /7.17/ слідує, що > ω₀ і тільки за умови R₁=0 =ω₀ .

При незмінних ω і L досягають резонансу зміною С, величина якої становитиме

/7.18/

Як видно з /7.18/ активний опір R₁ зменшує величину С₀ порівняно з випадком, коли R₁ = 0 ( ).

Часто в радіотехніці добиваються виникнення резонансу зміною індуктивності котушки L при сталих значеннях і С. У цьому випадку згідно рівняння /7.16/ резонанс настає при

. /7.19/

Слід відмітити, що при резонансі стосовно джерела напруги коло веде себе так, ніби реактивні елементи відсутні в ньому. Це зумовлене

Рис. 7.4

тим, що реактивні струми I_L і I_C знаходяться у протифазі (зсунуті в часі на кут π), тобто сума миттєвих значень цих струмів дорівнює нулю.

На рис. 7.4 зображені графіки I, I₁, I_C і φ=f(ω), із яких видно, що струм в нерозгалуженій частині кола змінюється за параболічним законом, а струм в конденсаторі – за лінійним.

Потужності, які споживають елементи кола, визначають за формулами:

активна /7.20/

реактивна /7.21/

і повна /7.22/

Електричні кола з паралельним з’єднанням віток знайшли широке застосування в різних галузях, зокрема, в електротехніці та електроніці. Це пояснюється тим, що при належній добротності вони мають досить ефективні фільтраційні властивості. В силових електротехнічних пристроях паралельне приєднання конденсаторів до споживача з активно-індуктивним опором (асинхронний двигун) підвищує коефіцієнт потужності (cosφ), що зменшує величину споживаючого струму і втрати потужності в мережі.