Робота 6. Дослідження послідовного кола змінного струму

6.1. Мета роботи

Перевірка закону Ома при аналізі послідовних кіл змінного струму, які складаються з резистивного, індуктивного та ємнісного опорів і вивчення явища резонансу напруг.

6.2. Короткі теоретичні відомості

Змінним називається струм, який періодично змінює свій напрямок. У загальному випадку напруга змінного синусоїдного струму описується функцією

u=U_msin( t+_и) , /6.1/

де U_m – амплітуда,   кутова частота і  – початкова фаза.

Спочатку розглянемо коло, в якому прикладена напруга u живить лише активний опір R (рис.6.1, а). Згідно закону Ома струм

/6.2/

де  амплітуда струму.

З алежності /6.1/ і /6.2/ показують, що напруга і струм описуються однаковими функціями, тобто вони збігаються в часі за фазою, бо кут зсуву початкових фаз між напругою і струмом .

Оскільки синусоїдну функцію можна представити вектором, що обертається проти годинникової стрілки з кутовою частотою , то напругу і струм показують векторами, як на рис. 6.1,б для R1. Таке представлення називають векторною діаграмою напруги та струму.

Розглянемо електричне коло, в якому напруга живить конденсатор С (рис.6.2,а). Миттєве значення струму в колі з ємністю дорівнює швидкості зміни заряду конденсатора:

Оскільки q=Cu, то

/6.3/

де I_m=CU_m. /6.4/

Залежність /6.3/ показує, що струм випереджає напругу на кут , бо . Після заміни в /6.4/ ампулітудних значень напруги і струму на діючі ( ; ), одержимо

. /6.5/

Залежність /6.5/ виражає закон Ома для кола змінного струму з ємністю, а величина називається ємнісним опором. Векторна діаграма цього кола показана на рис. 6.2,б.

На рис. 6.3,а зображене електричне коло, що складається з котушки з індуктивністю L, до якої прикладена синусоїдна напруга. Резистивний опір котушки R. Розглянемо спочатку котушку, резистивний опір якої дуже малий і ним можна знехтувати (ідеальна котушка). Під дією синусоїдної напруги струм в котушці буде теж синусоїним:

. /6.6/

Напруга на котушці

, /6.7/

де . /6.8/

З виразів /6.6/ і /6.7/ слідує, що напруга на котушці випереджає струм на кут або струм відстає від напруги на кут . Кут зсуву фаз між напругою і струмом .

Рис.6.3.

Після заміни в /6.8/ амплітудних значень напруги і струму на діючі одержимо закон Ома для кола змінного струму з індуктивністю:

, /6.9/

індуктивний опір котушки.

Векторна діаграма кола з ідеальною котушкою зображена на рис.6.3, б.

В колі з реальною котушкою і згідно другого закону Кірхгофа прикладена напруга u буде врівноважуватись спадами напруг на активному опорі u_R і індуктивності u_L , тобто

u =u_R + u_L . /6.10/

У векторній формі це рівняння матиме такий вид:

/6.11/

Згідно /6.2/ спад напруги на резистивному опорі

u_R =I_mR sint=U_mR sint /6.12/

і збігається зі струмом.

L

Побудувавши вектори , і , одержимо векторну діаграму кола (рис.6.3,в). Як видно з цієї діаграми модуль вектора

/6.13/

де величина /6.14/

називається повним опором кола.

Кут між векторами напруги і струму (різниця початкових фаз)

/6.15/

а)

б)

Рис.6.4.

Тепер розглянемо коло, яке складається з послідовно з’єднаних резистора, котушки індуктивності і конденсатора (рис. 6.4, а). Нехай під дією напруги в колі виникає струм і. За аналогією з /6.11/ можна записати, що прикладена напруга дорівнює векторній сумі спадів напруг на резистивному, індуктивному і ємнісному опорах:

/6.16/

За рівнянням /6.16/ на рис. 6.4,б побудована векторна діаграма кола з врахуванням, що

u_R=U_mRsint=I_mRsint;

u_L=U_mLsin(t+ )=I_mLsin(t+ ); /6.17/

u_C=U_mCsin(t- )= sin(t- ).

Модуль вектора прикладеної напруги

. /6.18/

Звідки – закон Ома для кола синусоїдної напруги. Величина

/6.19/

називається повним опором кола, а – реактивним опором.

Кут між векторами струму і напруги

/6.20/

Рівняння /6.18/ показує, що сила струму в схемі з послідовним з’єднанням R, L і С при =const залежить від повного опору кола. Величина повного опору при R=const залежить від реактивного опору . Якщо вважати сталими R, L і С, то при зміні  можливі три режими:

 L  , x  0 і   0;

 L  , x  0 і   0;

 L= , x=0 і =0.

У першому випадку опір кола має ємнісний характер (струм випереджає напругу за фазою), у другому – індуктивний характер, бо струм відстає за фазою від напруги.

Третій випадок має назву режиму резонансу напруг. Струм збігається за фазою з напругою і досягає максимального значення, рівного

.

При резонансі

або і . /6.21/

Величину f₀ називають резонансною частотою, вона є і власною частотою коливань контуру.

При резонансі напруги на окремих елементах будуть такими:

;

;

.

Напруги на індуктивності і ємності при резонансі рівні по модулю і можуть значно перевищувати напругу, підведену до кола. Саме тому резонанс у послідовному колі називають резонансом напруг.

На рис.6.5 показані залежності реактивних опорів, струму та напруг на окремих елементах кола і кута в функції частоти.

Максимальні значення напруг і рівні між собою, але вони виникають на частотах, що відрізняються від резонансної. Це пояснюється різним характером залежності та від частоти.

На рис.6.6 зображені векторні діаграми кола при різних частотах.

Якщо вважати частоту прикладеної напруги і величину ємності

конденсатора сталими, то резонанс виникає при індуктивності котушки

. /6.22/

Рис.6.6.

Аналогічно резонанс буде мати місце при незмінній частоті і сталій індуктивності, якщо ємність конденсатора буде рівною

. /6.23/

Отже, забезпечити резонанс напруг можна зміною однієї з трьох величин: частоти напруги живлення, індуктивності котушки та ємності конденсатора. На виконання умови резонансу зовсім не впливає величина опору .

Із формули повної потужності

слідує, що при резонансі , тому що , і .

Отже, повна потужність кола при резонансі дорівнює активній потужності. Кут між векторами напруг і струму при цьому дорівнює нулю, а коефіцієнт потужності .

Незважаючи на те, що реактивна потужність всього кола , запаси енергії у магнітному полі котушки та в електричному полі конденсатора існують, бо і . При цьому котушка і конденсатор обмінюються енергією, але між котушкою і джерелом живлення, а також між конденсатором і джерелом живлення обміну енергією не відбувається. Від джерела живлення надходить тільки енергія, що виділяється в резисторі R.

Електричне коло з послідовним з’єднанням елементів знайшло широке практичне застосування. Опір кола при резонансі на частотах, близьких до резонансної, має невелике значення, а на частотах, віддалених від резонансної, цей опір істотно зростає. Цю властивість послідовного кола використовують в радіотехніці для виділення електричних коливань потрібної частоти.