10.3. Теорема Джексона

Разомкнутая стохастическая сеть с простейшим входным потоком и экспоненциальным обслуживанием в каждом элементе сети распадается на отдельные системы, которые могут анализироваться независимо от других (рис.10.6).

Матрица вероятностей

Передач

p 0 1 2 . . . n

0 0 1 0 . . . 0

1 p₁ p₂ 1 p p₁ p₂ . . . p_n

2 0 1 0 . . . 0

S ₀ S₁ S₂ p= . . . . . . . .

. . . . . . . .

n 0 1 0 . . . 0

p_n

S_n

Рис.10.6.

Определение :

(10.1)

из (10.1):

Коэффициенты передач a1 =1/p, ai =pi/p - это количество этапов обслуживания заявок в системах S1,...,Sn .

ti = ai - время, в течение которого заявка находится в

системе Si .

Определим среднее время пребывания заявки в i-м узле системы:

t1 = /p -среднее процессорное время;

ti =(pi/p) -время обмена через СК.

Определим параметр, равный отношению среднего суммарного времени выполнения операций обмена через СК для одной задачи к среднему процессорному времени, требуемому для ее решения:

yi = ti / t1 .

Определяем загрузку устройств Si через yi и определяем вероятности P(Li),

где Li -среднее число заявок в системе Si , равное сумме средней длины очереди li и среднего числа занятых каналов ki.

Li = li + ki .

- глубина мультипрограммирования .

Определим среднее время пребывания заявок в сети (среднее время ответа на заявки пользователей):

, но => - среднее нормированное время

M ответа на заявки пользователей равно

отношению среднего значения

коэффициента мультипрограммирования

к загрузке процессора.

Для однопроцессорной системы y2 =t2 / t1 .

Рис.10.7.

Среднее значение коэффициента мультипрограммирования M->min при t2 = 0, т.е. когда среднее время выполнения всей операции обмена равно 0, или при t (т.е. среднее процессорное время, необходимое для обработки одного запроса пользователя ).

Рис.10.8.

Для СОО с несколькими СК

1-1 СК

2-2 СК

3- СК

При 2-х СК среднее нормированное время

ответа близко к времени ответа при

нескольких СК.

Рис.10.9.

-интенсивность входного потока,

-среднее время обслуживания в одном канале,

-среднее число занятых каналов.

, где Ki -общее число каналов системы i.

Стационарный режим:

, т.к . -ограничение на входной поток.