Модуль 2 Элементы теории поля.
2.1.
В каждой точке поверхности
,
лежащей в первом октанте, уравнение
которой
,
распределена масса с плотностью
,
где
.
Вычислить массу пластинки.
Решение.
Масса вычисляется по формуле
.
Имеем:
,
,
.
Следовательно,
масса
кв. ед.
2.2.
Вычислить
по нижней стороне поверхности
,
заданной уравнением
над областью
,
ограниченной прямыми
.
Решение.
|
В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности
|
,
получим
2.3.
С
помощью формулы Остроградского вычислить
интеграл
,
где
– часть конической поверхности
,
а
– направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности.
Решение. Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности.
Чтобы
получить замкнутую поверхность,
присоединим к поверхности конуса
соответствующую часть плоскости
.
Обозначив эту часть плоскости через
,
по формуле Остроградского получаем:
.
Таким образом,
-
.
Для
решения задачи необходимо вычислить
интегралы, стоящие в правой части. В
случае области
– косинусы углов с осями координат
нормали к плоскости
,
а именно:
.
Поэтому
,
Так
как на плоскости
и двойной интеграл равен площади круга
радиуса
,
получающегося при пересечении конуса
плоскостью.
При
вычислении интеграла по объему
производим сначала интегрирование по
от
до
.
Затем двойной интеграл по области
в плоскости
.
Эта область является кругом
.
Она получается проецированием объема
на плоскость
.
Таким образом,
.
Обозначая
последний интеграл через
и переходя к полярным координатам по
формулам
,
находим
.
Итак,
.
2.4.
Вычислить
поверхностный интеграл
по верхней стороне полусферы
Решение:
Преобразуем уравнение поверхности к
виду:
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
,
2.5 Найти
объем шара
Решение: Найти объем шара можно по формуле:
2.6. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный интеграл
,
где
– окружность
,
пробегаемая против часовой стрелки,
если смотреть с положительной стороны
оси
.
Решение.
В
нашем случае
,
поэтому
.
По формуле
|
|
,
где
– часть плоскости
,
ограниченная окружностью. Приводя
уравнение окружности к нормальному
виду, находим
.
Таким
образом,
,
где
– радиус круга, ограниченного указанной
окружностью.
2.7.
Найти частные производные функции
Решение.
2.8.
Найти частные
производные второго порядка функции
Решение.
Так как
и
,
то
и
.
Смешанные производные
и
2.9.
Найти производную скалярного поля
по направлению кривой
от точки
к точке
в точке
.
|
Решение.
Найдём единичный вектор
Прямая
имеет угловой коэффициент
|
|
,
касательный к параболе
в точке
.
(рис.32). Найдём угловой коэффициент
прямой, на которой лежит вектор
:
.
и проходит через точку
,
следовательно, её уравнение
.
Запишем
это уравнение в каноническом виде:
.
Вектор
- направляющий вектор этой прямой, причём
его направление соответствует направление
на кривой от точки
к точке
.
Соответствующий ему единичный вектор
,
т.е. его направляющие косинусы
,
.
Найдём теперь
,
,
а тогда производная по направлению
функции
в точке
по кривой
от точки
к точке
будет
,
.
2.10. Найти дивергенцию векторного поля
в точке
.
Решение.
Вычислим частные производные
в точке
.
,
,
.
Подставляя полученные значения в формулу
,
получаем:
.
2.11.
Найти поток векторного поля
из тела, ограниченного координатными
плоскостями
,
,
и плоскостью
наружу по теореме Остроградского и
непосредственно .
|
Решение.
1-й метод решения.
Вычислим поток векторного поля по
теореме Остроградского. Найдём
Имеем:
|
|
.
,
,
.
Значит,
.
Следовательно,
.
Поток векторного
поля
.
2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода.
Имеем:
,
где
полная поверхность тела
,
состоящая из четырёх частей:
;
здесь
,
и
- направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности;
, , ;
.
Поток
можно представить в виде суммы четырёх
потоков:
.
Вычислим каждый из потоков:
1.
,
,
т.е.
,
,
,
.
Следовательно,
,
т.к.
есть поверхность
.
2.
,
,
т.е.
,
,
.
Таким образом:
.
Здесь
,
:
,
следовательно,
.
3.
,
,
т.е.
,
,
,
,
т.к. на поверхности
.
4.
.
Поверхность
имеет уравнение
,
следовательно,
,
тогда
.
Поверхностный интеграл здесь вычисляется
по верхней стороне поверхности
,
значит направляющие косинусы нормали
будут равны:
.
Тогда получим
.
Окончательно:
.
3-й метод
решения. Вычислим тот же самый поток
с помощью поверхностного интеграла
второго рода
.
В нашем случае
,
как и в предыдущем случае, поток
представим в виде суммы четырёх потоков
соответственно, через поверхности
,
,
,
:
1. На
,
,
а значит
.
2. На
,
.
Сторона поверхности, по которой
вычисляется интеграл, нижняя. Нормаль
к поверхности образует тупой угол с
осью Ох. Значит
3. На
,
,
сторона поверхности нижняя и
.
4.
.
На
.
Следовательно,
.
9.25 Найти ротор
поля
.
Решение.
=
.
2.12.
Вычислить циркуляцию векторного поля
|
по линии пересечения
конуса
с координатными плоскостями, лежащей в первом октанте, непосредственно и по теореме Стокса |
|
Решение.
1) Непосредственное
вычисление циркуляции. Контур
можно разбить на три части:
,
и
,
лежащие в координатных плоскостях
,
и
соответственно, таким образом циркуляция
Ц=Ц1+Ц2+Ц3
, где
Ц1=
.
На кривой
:
,
.
Следовательно, Ц1=
.
Далее
Ц2=
. На кривой
:
,
т.е.
Ц2=
.
И, наконец,
Ц3=
.
На кривой
:
,
,
,
,
следовательно, Ц3=
.
Окончательно
Ц=Ц1+Ц2+Ц3
=
.
2) Вычисление циркуляции по теореме Стокса:
Ц=
.
Подставим сюда
,
получим
Ц1=
.
Перейдём в правой части к поверхностному
интегралу первого рода Ц=
,
где интеграл вычисляется по верхней
стороне поверхности
.
Уравнение поверхности
:
,
следовательно,
,
,
;
;
;
.
Подставляя найденные значения в выражение для циркуляции, получим
Ц=
.
Перейдём к полярным координатам:
,
,
,
тогда
Ц=
.
В
ычислим
внутренний интеграл:
Тогда Ц=
.
2.13
Найти
,
если
Решение:
Найдем скалярное произведение:
Найдем скалярное произведение:
2.14
Найти поток
векторного поля
через сторону треугольника S,
вырезанного из плоскости
координатными плоскостями.
Решение:
2.15
Найти
div(grad
u),
если
Решение:
2.16
Определить
является ли векторное поле
потенциальным и найти его потенциал.
Решение:
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля, справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.
Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:
Модуль 3 Ряды.
Элементы гармонического анализа.
Функции нескольких переменных.
Операционное исчисление.
Ряды.
3.1
Написать
пять первых членов ряда по данному
общему члену
.
Решение.
Полагая
,
получаем
.
Если
,
то
и далее (при
)
,
,
.
Следовательно,
3.2 Написать формулу общего члена для ряда
Решение. Знаменатели членов данного ряда – квадраты натуральных чисел, следовательно, общий член ряда
.
3.3 Найти для ряда частичную сумму первых n членов (Sn); показать, пользуясь определением, сходимость (расходимость) ряда; найти сумму ряда (S):
Решение. Общий член ряда запишем иначе:
.
Определяя
коэффициенты А и В, получаем
.
Следовательно,
.
Напишем частичную сумму ряда
.
,
отсюда следует, что ряд сходится и его сумма S=1.
3.4
Исследовать
сходимость ряда
Решение:
Найдем
- необходимый признак сходимости не
выполняется, значит ряд расходится.
3.5
Исследовать
на сходимость ряд
Решение:
Т.к.
,
а гармонический ряд
расходится, то расходится и ряд
.
3.6
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Т.к.
,
а ряд
сходится ( как убывающая геометрическая
прогрессия), то ряд
тоже сходится.
3.7
Определить
сходимость ряда
.
Решение:
Используем признак Даламбера
ряд сходится.
3.8
Определить
сходимость ряда
Решение: Используем признак Даламбера
ряд сходится.
3.9
Определить
сходимость ряда
.
Решение:
Используем признак Коши
ряд сходится.
3.10 Исследовать по интегральному признаку Коши сходимость ряда:
.
Решение.
Пусть y=
–непрерывная,
монотонно убывающая и принимающая
только положительные значения в интервале
(0,
)
функция, причем ее значения, отвечающие
целым положительным числам 1, 2, 3,…,
совпадают с соответствующими членами
данного ряда. Найдем несобственный
интеграл
Несобственный интеграл расходится, следовательно, по интегральному признаку данный ряд тоже расходится.
3.11 Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
1)
;
2)
;
3)
.
Решение. 1) Члены данного ряда убывают по абсолютной величине, знаки чередуются и общий член с возрастанием n стремится к нулю. Поэтому, согласно признаку Лейбница, ряд 1 сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
,
есть гармонический ряд, который, как уже известно, расходится. Следовательно, ряд 1 сходится условно.
2) Члены данного
знакочередующегося ряда убывают по
абсолютной величине, однако общий член
не стремится к нулю с возрастанием n,
,
т. е. необходимое условие сходимости
ряда не выполнено, поэтому ряд 2 расходится.
3) Составим ряд из абсолютных величин данного знакопеременного ряда
(в)
Сравним ряд (в) со сходящимся рядом
(г)
Каждый член ряда (в) не превосходит соответствующего члена ряда (г), поэтому, согласно признаку сравнения, ряд (в) сходится. Следовательно, данный ряд 3 сходится абсолютно (безусловно).
3.12
Исследовать на сходимость ряд
Решение: Применяем признак Даламбера:
.
Получаем, что этот
ряд сходится при
и
расходится при
.
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница
При х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).
3.13 Найти область сходимости рядов:
1)
;
2)
.
Решение.
1)
.
Ряд сходится только в одной точке x=0.
2) Положив в данном ряду x-1 =y, получим ряд
.
(a)
Найдем радиус сходимости этого ряда:
.
Исследуем поведение ряда на концах
интервала
.
Пусть y=
,
тогда получим расходящийся ряд
.
Пусть y=
,
тогда получим ряд
,
который также расходится. Следовательно,
ряд (а) сходится в интервале
.
Заменив переменную y
через переменную x,
получим искомую область сходимости
данного ряда:
или
.
Элементы гармонического анализа. Ряды Фурье.
3.13. Исследовать
на периодичность функцию у
= cos 5х + cos 7x.
Решение:
Период функции cos5x T1 =
2
/5,
а функции cos7x Т2 =
2
/7.
Наименьшее
число Т,
при делении которого на 2
/5 и
на 2
/7
получаются целые числа, есть число 2
,
которое и будет периодом исходной
функции.
Ответ: периодическая, T
= 2
.
3.14. Исследовать на периодичность функцию y = sin 3x + sin pх. Решение:Период функции sin3x T1 = 2 /3, а функции sin х - T2 = 2 / = 2. Однако общего периода у функций sin3x, sin х не существует, поскольку нет числа, при делении которого на 2 /3 и на 2 получились бы целые числа. Числа 2 /3 и 2несоизмеримые. Ответ: функция непериодическая.
3.15 Определить период функции y=cos2x.
Решение. cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2π, т.е. Т=π.
3.16
Разложить
в ряд Фурье периодическую функцию
с периодом T
= 2
на отрезке [-;].
Решение: Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:
Получаем:
.
3.17 Разложить в ряд Фурье функцию
.
Решение.
Здесь
.
Коэффициенты
определяются по формуле (10), а коэффициенты
–
по формуле (11), в которых надо вместо
подставить 2. Поэтому
;
Итак,
(
).
Подставляя найденные
значения коэффициентов
в ряд (9), получим:
.
Теория функции комплексного переменного.
3.18
Записать комплексное число
в тригонометрической и показательной
формах:
Решение: , так как абсцисса отрицательна, а ордината положительна, то точка лежит во второй четверти.
,
,
т.е.
.
Поэтому
.
3.19 Комплексное число
представить в алгебраической форме.
Решение: Здесь
.
По формулам
и
найдем
Алгебраическая форма данного числа
есть (приближенно)
.