Тренировочные упражнения математика 3 сем

ИВТ

2012-2013

Модуль 1 Кратные, криволинейные интегралы

Кратные интегралы.

1.1. Вычислить

,

где область ограничена прямыми

Решим пример двумя способами.

	Первый способ. Выполним внутреннее интегрирование по , а внешнее по , тогда получим . Вычислим внутренний интеграл:

.

Подставляя найденное значение в выражение для , получим

.

Второй способ. Внутреннее интегрирование выполним по переменной , а внешнее - по переменной . Заметим, что при этом область мы должны разбить на две области и , следовательно, двойной интеграл выразится в виде суммы таких двух повторных интегралов:

Итак, окончательно получим .

1.2. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью .

Искомый объём , где тело есть пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями.

Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный:

	или или

Проведём вычисления по последней формуле, получим

.

Имеем .

Наконец, куб. ед.

1.3. Найти часть площади поверхности цилиндра , вырезанной из него плоскостями

Решение.

	Цилиндр имеет образующую, параллельную оси , а направляющей является парабола в плоскости . Плоскости проходят через начало координат и через ось , а плоскость проходит параллельно плоскости . Они вырезают из цилиндрической поверхности некоторую часть.

Проекция этой части на плоскость представляет собой треугольник , который и является областью интегрирования. При переходе к повторному интегралу надо вести внутреннее интегрирование по , а внешнее по . Находим .

Вычисляем площадь поверхности:

.

1.4. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями

Решение. Находим массу, которая при численно равна площади:

Находим статические моменты пластинки:

Итак, центр тяжести имеет координаты:

.

Положение центра тяжести помечено на рисунке.

1.5. Вычислить

, где есть круг

Решение. Перейдём к полярным координатам . В полярных координатах уравнение окружности при любом (т.е. меняется от до 2 ), а является постоянным, , тогда получим

Для того, чтобы расставить пределы интегрирования, достаточно выяснить, как проходят (возрастают) через область координатные линии и .

1.6. Найти объём тела, лежащего в первом октанте и ограниченного снизу конической поверхностью , сверху шаровой поверхностью , а с боков координатными плоскостями и .

Решение. Искомый объём . Перейдём к сферическим координатам

	Найдём уравнения конуса в сферических координатах: ,

откуда следует и . Заметим, верхняя чаша конуса имеет уравнение , а нижняя . Нетрудно убедиться, что уравнение шаровой поверхности в сферических координатах . Итак, искомый объём

.

Вычислим .

Окончательно куб. ед.

Криволинейные интегралы.

1.7. Вычислить криволинейный интеграл , где – дуга кривой между точками, для которых .

Решение. Поскольку , и на дуге кривой функция ,

по формуле находим

.

1.8. Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии

Решение:

1.9. Вычислить , где – отрезок прямой между точками .

Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через точки :

, или .

Таким образом, получаем параметрическое уравнение прямой:

.

Точка М пробегает отрезок М₁М₂ , когда изменяется от 0 до 1. Так как .

По формуле находим

.

1.10 Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

Решение:

1 способ

Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L₁ = x² и

2 способ.

Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.

Решение:

1.11 Вычислить криволинейный интеграл , если кривая АВ задана уравнением и .

Решение. Так как кривая задана явным уравнением вида , то используем формулу .

Находим

.

1.12 Вычислить криволинейный интеграл , если кривая АВ задана уравнениями и .

Решение. Кривая есть часть эллипса с полуосями 3 и 2, находящаяся в первой четверти.

Используя формулу

, находим:

.

1.13 С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл второго рода , где – контур прямоугольника с вершинами . Преобразуем этот интеграл по формуле Грина

.

	, .

Тогда

, где область ограничена контуром , в данном случае - прямоугольником .

Вычисляем полученный двойной интеграл по прямоугольнику :

.

1.14 Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пути интегрирования с началом в точке и концом в точке , предварительно установив, что он не зависит от пути интегрирования.

Для данного интеграла .

Так как , то условия формулы

выполнены, т.е. .

Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования. Вычислим его по отрезку прямой, проходящей через точки и . Параметрическое уравнение прямой имеет вид , поэтому . На отрезке , то

.