Вариант № 21
№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области
интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:
.
№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле
, если D – ромб O (0, 0), A (2, 1), B (4, 0), C (2, –1).
№ 3. Вычислить
массу пластины D
с поверхностной плотностью
,
D : треугольник O (0, 0), A (2, 1), B (2, –1).
№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:
.
№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной
заданными
линиями:
.
№ 6. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 8. Найти площадь
части поверхности
– плоскость
,
вырезанной поверхностью
– координатные
плоскости
.
№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область
интегрирования,
и вычертить эту область:
.
№ 10. Вычислить
,
если
.
№ 11. Вычислить
,
сведением к однократному и двойному
интегралам:
.
№ 12. Вычислить
тройной интеграл
,
перейдя к цилиндрическим координатам:
.
№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:
.
№ 14. Найти момент инерции относительно оси OX тела, ограниченного данными поверхностями,
полагая
,
где
- объёмная плотность тела:
.
№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:
.
№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
.
№ 17. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по кривой
между точками
.
№ 18. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по линии
.
№ 19. Найти длину
линии
.
№ 20. Вычислить
криволинейный интеграл
между точками A(0,
0) и B
по различным путям интегрирования C1
(отрезок AB)
и C2
:
и обосновать полученные результаты,
используя условие независимости
криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
№ 21. Вычислить
криволинейный интеграл
,
применив формулу Грина (обход контура
составляет
область, ограниченную контуром, слева).
ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)
Вариант № 22
№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области
интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:
.
№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле
, если D – параллелограмм A (–3, 4), B (0, 4), C (4, 0), D (1, 0).
№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью
.
№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:
.
№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной
заданными
линиями:
.
№ 6. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 8. Найти площадь части поверхности – плоскость , вырезанной поверхностью
– координатные плоскости .
№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область
интегрирования,
и вычертить эту область:
.
№ 10. Вычислить
,
если
.
№ 11. Вычислить
,
сведением к однократному и двойному
интегралам:
.
№ 12. Вычислить
тройной интеграл
,
перейдя к цилиндрическим координатам:
.
№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:
.
№ 14. Найти момент инерции относительно оси OX тела, ограниченного данными поверхностями,
полагая
,
где
- объёмная плотность тела:
.
№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:
.
№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
.
№ 17. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
;
прямая
от
.
№ 18. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по линии
.
№ 19. Найти длину
линии
.
№ 20. Вычислить
криволинейный интеграл
между точками A
и B(0,
1),
O(0,
0) по различным
путям интегрирования C1
(отрезок AB)
и C2
: ломаная ABC
и обосновать полученные результаты,
используя условие независимости
криволинейного интеграла от пути
интегрирования.
№ 21. Вычислить
криволинейный интеграл
,
применив формулу Грина (обход контура
составляет
область, ограниченную контуром, слева).
ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)