Вариант № 19

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – прямоугольник A (0, 1), B (4, 5), C (6, 3), D (2, –1).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью

.

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: (вне круга).

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

.

№ 8. Найти площадь части поверхности  – параболоид , вырезанной поверхностью

 – плоскость .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим

координатам: .

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Найти момент инерции относительно оси OX тела, ограниченного данными поверхностями,

полагая , где - объёмная плотность тела: .

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

.

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Найти массу материальной дуги линии при линейной плотности .

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(0, 1) и B(1, 0) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : и

обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного

интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)

Вариант № 20

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – треугольник A (–3, 0), B (3, 4), C (0, –3).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью

.

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

.

№ 8. Найти площадь части поверхности  – конус , вырезанной поверхностью

 – вертикальная треугольная призма с основанием A (0, 1), B (1, 2), C (–1, 2).

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим координатам:

.

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Найти момент инерции относительно оси OX тела, ограниченного данными поверхностями,

полагая , где - объёмная плотность тела: .

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

.

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

.

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии .

№ 19. Найти длину линии .

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(0, –5) и B(2, 5), C(0, 5) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : ломаная ABC и обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)