§ 7. Вычисление разности широт и разности долгот двух точек

Задача № 7.1:

Задача № 7.2:

Задача № 7.3:

Задача № 7.4:

Задача № 7.5:

Задача № 7.6:

Поскольку , то величину вычитают из трехсот шестидесяти градусов, а знак – меняют на противоположный:

Характерные причины ошибочного вычисления разности широт и разности долгот двух точек (от греч. character – отличительная черта, признак):

1. Неразборчивое написание цифр числового значения широты и долготы точки, в результате чего цифру 3, например, можно прочитать как цифру 9, цифру 5 – как цифру 6 и т.п.

2. Неправильное написание формулы для вычисления и .

3. Невнимательность при написании в скобках алгебраической формулы (6.1) или (6.2) числовых значений широты или долготы точки, в результате чего, например, вместо числового значения записывают числовое значение и т.п.

4. Неправильное применение так называемого «правила знаков» во время раскрытия скобок алгебраической формулы.

5. Невнимательность при сложении, вычитании чисел и других арифметических действий (от греч. arithmos – число).

Первые четыре причины приводят к грубой ошибке (к грубой погрешности) вычисления и , которую в практике судовождения принято называть промахом.

Для исключения промаха вычисления и необходимо соблюдать правила штурманской культуры математических вычислений, которая начинается с внешнего вида судоводителя, стиля его работы и порядка на штурманском столе (от лат. cultura – возделывание, воспитание, образование, развитие, почитание):

1. Внешний вид судоводителя должен быть опрятным.

2. Вычисление навигационных величин должно производиться быстро, но без спешки и нервозности.

3. На штурманском столе не должно быть ничего лишнего, мешающего работе судоводителя.

4. Написание цифр и символов формулы (от греч. symbolon – знак, опознавательная примета) должно быть разборчивым и аккуратным, чтобы исключить неоднозначное прочтение этих цифр и символов.

5. Формулы для вычисления и необходимо выводить с помощью специального чертежа.

6. Вычисление и с помощью алгебраических формул (6.1) и (6.2) должно производиться в следующей последовательности:

6.1 Записывают алгебраическую формулу (6.1) для вычисления и алгебраическую формулу (6.2) для вычисления .

6.2 В скобках алгебраической формулы (6.1) записывают числовые значения и со своими знаками «плюс» или «минус», а в скобках формулы (6.2) записывают числовые значения и со своими знаками.

6.3 Раскрывают скобки алгебраической формулы с соблюдением так называемого «правила знаков»: «плюс» на «минус» дает «минус», а «плюс» на «плюс» и «минус» на «минус» дают «плюс».

6.4 Производят сложение или вычитание числовых величин и с соблюдением определенной последовательности этих действий с градусами, минутами и секундами угловых величин.

6.5 Проверяют правильность вычисления и с помощью так называемого «проверочного чертежа».

С пециальный чертеж для вывода формул по вычислению и вычерчивают от руки (без применения чертежных инструментов) в тетради для черновых записей.

Порядок построения специального чертежа для вывода формулы по вычислению (рисунок 7.1):

1. Вычерчивают окружность EP_NQP_S, которая является истинным меридианом на земном шаре.

2. Через центр окружности О проводят вертикальную линию P_NP_S, которая является осью вращения Земли.

3. Через центр окружности О проводят горизонтальную линию EQ, которая является линией пересечения плоскости земного экватора с плоскостью истинного меридиана EP_NQP_S.

4. Под углом примерно 30º к линии ОQ проводят радиус окружности ОА, который является нормалью точки А к поверхности земного шара. Поэтому угол АОQ между плоскостью земного экватора и нормалью точки А к поверхности земного шара обозначают дугой со стрелкой и подписывают .

5. Под углом примерно 60º к линии ЕQ проводят радиус окружности ОВ. Угол ВОQ обозначают дугой со стрелкой и подписывают .

6. Дугу меридиана АВ обозначают стрелкой, которая показывает направление движения судна из начальной точки А в конечную точку В в сторону северного истинного полюса земли P_N. Поэтому дугу АВ подписывают .

Таким образом, на рисунке 7.1 изображено меридиональное сечение земного шара. Судно движется вдоль линии истинного меридиана северного полушария из начальной точки А в конечную точку В в сторону северного полюса Земли P_N. Поскольку судно находится в северном полушарии и движется в сторону северного полюса Земли, то этот специальный чертеж для вывода формулы по вычислению принято называть «северным чертежом», на котором наглядно видно: чтобы получить дугу , необходимо из дуги вычесть дугу . Поэтому глядя на «северный чертеж» делают безошибочную запись:

(7.1)

П оскольку формула (7.1) применима только в том случае, если судно находится в северном полушарии и движется в сторону северного полюса Земли, то необходимо эту формулу преобразовать в алгебраическую формулу, чтобы получить универсальную формулу по вычислению в любой ситуации, когда начальная и конечная точки пути судна могут находиться в любом полушарии (от лат. universalis –общий, всеобщий):

(7.2)

Порядок построения специального чертежа для вывода формулы по вычислению (рисунок 7.2):

1. Вычерчивают окружность, которая является земным экватором.

2. Через центр окружности О проводят вертикальную линию , которая является линией пересечения плоскости гринвичского (нулевого) и демаркационного (сто восьмидесятого) меридианов с плоскостью земного экватора.

3. Под углом примерно 60º к линии О - 0º проводят радиус окружности ОА, который является линией пересечения плоскости меридиана точки А с плоскостью земного экватора. Таким образом, угол между линией О - 0º и линией ОА является двугранным углом между плоскостью гринвичского меридиана и плоскостью меридиана точки А и поэтому этот угол обозначают дугой со стрелкой и подписывают .

4. Под углом примерно 120º к линии О - 0º проводят радиус окружности ОВ, который является линией пересечения плоскости меридиана точки В с плоскостью земного экватора и поэтому угол между линией О - 0º и линией ОВ обозначают дугой со стрелкой и подписывают .

5. Дугу земного экватора АВ обозначают стрелкой, которая показывает направление движения судна из начальной точки А в конечную точку В в сторону востока. Поэтому дугу АВ подписывают .

Таким образом, на рисунке 7.2 изображено экваториальное сечение земного шара, на котором судно находится в восточном полушарии и движется в сторону востока. Поэтому этот специальный чертеж для вывода формулы по вычислению принято называть «восточным чертежом». Глядя на этот чертеж, безошибочно делают запись:

(7.3)

Формулу (7.3) преобразуют в алгебраическую формулу:

(7.4)

Необходимость соблюдения установленной последовательности вычисления и с целью исключения промаха в расчетах и необходимость проверки полученного результата вычисления с помощью чертежа рассмотрим на примере вычисления и в задаче 7.6:

1. Если пренебречь выводом формул по вычислению и с помощью «северного чертежа» и «восточного чертежа» и записать эти формулы по памяти, то возможна ошибка в написании формул, которая повлечет за собой неправильное определение наименований и , что является грубейшей ошибкой:

Т аким образом, из-за неправильного написания формул – значения и вычислены с грубейшей ошибкой, которую можно выявить с помощью «проверочного чертежа».

Порядок построения «проверочного» чертежа после вычисления разности широт двух точек (рисунок 7.3):

1. Вычерчивают меридиональное сечение земного шара по методике, изложенной при построении «северного чертежа».

2. Для удобства и ускорения проверки правильности вычисления - заданные значения и , а так же полученный при вычислении результат - округляют до одного градуса (1º):

,

,

3. От линии OQ в сторону южного полюса Земли Р_S откладывают на глаз (без транспортира) угол .

4. От линии OQ в сторону северного полюса Земли Р_N на глаз откладывают угол .

5. Дугу АВ, которая опирается на суммарный угол обозначают стрелкой, которая показывает направление движения судна из начальной точки А в конечную точку В в сторону северного истинного полюса Земли Р_N. Поэтому дугу АВ подписывают: .

Таким образом, «проверочный чертеж» не подтвердил правильность вычисления разности широт двух точек с помощью формулы, т.к. согласно этому чертежу наименование разности широт получается «к северу» (кN), а по результатам вычисления – наименование этой разности широт получилось «к югу» (кS).

Порядок построения «проверочного» чертежа после вычисления разности долгот двух точек (рисунок 7.4):

1.Вычерчивают экваториальное сечение земного шара по методике, изложенной при построении «восточного чертежа».

2 . Округляют заданные значения , а так же полученный при вычислении результат до одного градуса (1º):

3. От линии в сторону запада откладывают на глаз угол , проводят радиус ОА и подписывают угол: .

4. От линии в сторону востока откладывают на глаз угол , проводят радиус ОВ и подписывают угол: .

5. Меньшую дугу экватора АВ обозначают стрелкой, которая показывает направление движения судна из начальной точки А в конечную точку В в сторону запада, т.к. по мере движения судна вдоль земного экватора западного полушария – западная долгота места судна увеличивается от до , а после пересечения сто восьмидесятого меридиана, восточная долгота места судна уменьшается от до . Поэтому дугу АВ подписывают: .

Таким образом, «проверочный чертеж» не подтвердил правильность вычисления разности долгот двух точек с помощью формулы, т.к. согласно этому чертежу наименование разности долгот получается «к западу» (кW), а по результатам вычисления – наименование этой разности долгот получилось «к востоку» (кЕ).

Неправильное применение «правила знаков» во время раскрытия скобок алгебраической формулы может быть при мысленном раскрытии скобок этой формулы, когда в нарушении необходимой последовательности производства вычисления и – заданные значения и , а так же и предварительно в скобках не заключают:

1. Необходимо соблюдать следующую последовательность вычисления разности широт: В этом случае обеспечена наглядность выполнения «правила знаков» при раскрытии скобки – : «минус на минус дает плюс». Поэтому последующие записи в ходе вычисления производят безошибочно: .

2. Если в нарушение необходимой последовательности вычисления значения и предварительно в скобки не заключать, то отсутствие наглядности применения «правила знаков» во время раскрытия скобок может вызвать ошибочное выполнение этого правила:

В этом случае «проверочный чертеж» (рисунок 7.3) не подтвердит правильность вычисления .

Аналогично возможно неправильное применение «правила знаков» при мысленном раскрытии скобок алгебраической формулы по вычислению разности долгот двух точек:

В этом случае «проверочный» чертеж (рисунок 7.4) не подтвердит правильность вычисления .

Таким образом, процедура заключения в скобки алгебраической формулы заданных значений и необходима для обеспечения наглядности применения «правила знаков» во время раскрытия скобок этой формулы с целью исключения возможной ошибки выполнения этого правила. Невыполнение этой процедуры не следует мотивировать необходимостью быстрого вычисления и , т.к. быстрота штурманских расчетов достигается отработкой навыков вычисления. Сокращение времени вычисления за счет исключения каких-либо промежуточных звеньев в общей цепи последовательных действий квалифицируется как ненужная торопливость, неуместная для штурманских расчетов, т.к. ошибки, допущенные при решении навигационных задач чреваты тяжелыми последствиями.