5.1. Мова інтуїціоністської логіки

Для інтуїціоністської логіки не діє закон виключеного третього та пов'язані з ним закони де Моргана, закон зняття подвійного заперечення. Пропозиційні зв'язки , , &,  тепер незалежні, еквіваленція подається через імплікацію та кон'юнкцію: PQ = (PQ)&(QP). Операції квантифікації х та x теж незалежні.

Розглянемо мову інтуїціоністської пропозиційної логіки (ІПЛ).

Алфавiт мови ІПЛ складається iз символiв логiчних зв’язок , , &,  та множини Ps пропозицiйних символів.

Визначення формули мови ІПЛ iндуктивне.

1) кожний АPs є формулою;

2) якщо  та  – формули, то , , &,  – формули.

Множину формул мови ІЛП позначимо Fp.

Розглянемо мову інтуїціоністської логіки предикатів 1-го порядку (ІЛП). Обмежимося випадком чистої логіки, або логіки кванторного рівня (це означає, що не виділено спеціальний предикат рівності та в сигнатурі мови немає функціональних символів).

Алфавiт мови ІЛП складається iз таких символів:

– предметнi імена (змiннi) x, y, z,...;

 предикатнi символи (ПС) p₀, p₁, p₂,... заданої арностi;

 символи логiчних операцiй , , &,  та х, x.

Множину Ps предикатних символів назвемо сигнатурою мови ІЛП.

Атомарною формулою мови ІЛП називається вираз вигляду px₁...x_n, де p – n-арний ПС, x₁, ..., x_n – предметнi змiннi.

Індуктивне визначення формули мови ІЛП таке:

1) кожна атомарна формула є формулою;

2) якщо  та   формули, то , , &,   формули;

3) якщо   формула, x предметне iм’я, то x та x  формули.

Множину формул мови ІЛП позначимо Fr.

5.2. Реляційна семантика інтуїціоністської логіки

На відміну від класичної логіки, яка є логікою конкретного знання, інтуїціоністська логіка передбачає накопичення знань. На цій ідеї Брауера базуються найпопулярніші семантичні моделі інтуїціоністської логіки – моделі можливих світів, або реляційні моделі.

Моделі можливих світів започатковані ще Л.Брауером та А.Гейтінгом, вони розвинуті С.Кріпке та Я.Хінтіккою. Такі моделі успішно використовуються також для опису семантики модальних логік.

Про інші підходи до семантики інтуїціоністської логіки див., напр., [32, 36].

Моделлю можливих світів інтуїціоністської логіки, або реляційною інтуїціоністською моделлю назвемо трійку М = (S, , I).

Тут S – множина світів,  – бінарне відношення на S, I – відображення інтерпретації. Відношення  є відношенням часткового порядку на S.

Для випадку інтуїціоністської пропозиційної логіки відображення інтерпретації уточнимо так:

I : PsS{T, F}.

Світи узгоджуються із відношенням  наступним чином. Якщо   та I(A, ) = T, то I(A, ) = T. Це означає, що при підйомі по світах істинність атомарних формул не може перейти у фальш.

Bідображення інтерпретації I : PsS{T, F} індуктивно продовжимо до відображення J : FpS{T, F}:

1) J(A, ) = I(A, ) для всіх АPs;

2) J(, ) = T  J(, ) = T або J(, ) = T;

3) J(&, ) = T  J(, ) = T та J(, ) = T;

4) J(, ) = T  для всіх  таких, що _, маємо J(, ) = F.

5) J(, _) = T  для всіх  таких, що _, маємо: якщо J(, ) = T, то J(, ) = T.

Те, що J(, ) = T , тобто істинність формули  в світі , позначаємо  .

Формула  істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=, якщо для всіх S маємо  .

Формула  інтуїціоністськи істинна, що позначаємо |=, якщо для кожної реляційної моделі М маємо М .

Для випадку інтуїціоністської логіки предикатів світами є алгебраїчні системи заданої сигнатури , яка визначає мову ІЛП.

Bідображення інтерпретації атомарних формул на світах задаємо так:

I :   SPr^).

Світи узгоджуються із відношенням  наступним чином.

– Нехай  = (A, ),  = (B, ) та _. Тоді AB.

– Нехай pPs. Якщо _ та p_(a₁,..., a_n) = T, то p_(a₁,..., a_n) = T.

Отже, при підйомі по світах їх носії можуть тільки розширюватися, при цьому істинність атомарних формул не може перейти у фальш.

Значення формули в світі  визначаємо індуктивно.

1) Для атомарних формул p_(d) = T означає I(p, )(d) = T;

2) ()_(d) = T  _(d) = T або _(d) = T;

3) (&)_(d) = T  _(d) = T та _(d) = T;

4) (_)(d) = T  для всіх  таких, що _, маємо _(d) = F;

5) ()_(d) = T  для всіх  таких, що _, маємо: якщо _(d) = T, то _(d) = T.

6) (x)_(d) = T  для деякого aA маємо _(dxa) = T;

7) (x)_(d) = T  для всіх  таких, що _, для всіх aB маємо _(dxa) = T.

Істинність формули  в світі  позначаємо  .

Формула  істинна в реляційній моделі М, що позначаємо М |=, якщо для всіх S маємо  .

Формула  мови сигнатури  інтуїціоністськи істинна, що позначаємо _I |=, якщо для кожної реляційної моделі М із світами сигнатури  маємо М .

Приклад 5.2.1. Покажемо, що формула AA не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель – реляційну модель М таку, що М | AA.

 



Задамо I(A, ) = F, I(A, ) = T, I(A, ) = F. Зрозуміло, що невірно  A. Для  A необхідно  | A,  | A,  | A. Але I(A, ) = T, тому  | A. Отже, невірно  A, звідки  | AA, тому М | AA.

Приклад 5.2.2. Покажемо, що формула (AB)(BA) не є інтуїціоністськи істинною. Для цього вкажемо для неї контрмодель М таку, що М | (AB)(BA).

 



Задамо I(A, ) = F, I(B, ) = F, I(A, ) = T, I(B, ) = F, I(A, ) = F, I(B, ) = T. Тоді  |= A та  | B, звідки, враховуючи _, невірно  AB. Але  |= B та  | A, тому, враховуючи _, невірно  BA. Отже, невірно  |= (AB)(BA), тому М | (AB)(BA).

Приклад 5.2.3. Вкажемо модель М таку, що М |= (xP(x)xP(x)).

…

₂ A₂={0, 1, 2}

₁ A₁={0, 1}

₀ A₀{0}

Для кожного світу _n його носій – це A_n = {0, 1, …, n}. Задамо (k) = T для всіх k<n та (n) = F. Маємо (0) = F; але  (0) = T означає, що (0) = F для всіх n, що невірно, тому  (0) = F. Отже, (0) = F. Маємо (1) = F; але  (1) = T означає, що (1) = F для всіх n1, що невірно, тому  (1) = F. Отже, (1) = F. Продовжуючи, отримуємо (2) = F і т.д. Отже, для кожного _n (n) = F, тому для кожного _n = F. Звідси _n |= (xP(x)xP(x)) для кожного _n, тому М |= (xP(x)xP(x)).

Зауважимо, що в класичній логіці |= (xA(x)xA(x)). Отже, в інтуїціоністській логіці є формули, які суперечать формулам класичної логіки.