2.11. Побудова графіків складних функцій методом перетворення

графіків базових функцій

Для проведення дослідження функцій і побудови їх графіків у більшості випадків користуються похідною. Разом із тим актуальним залишається метод, який базується на перетворенні графіка підходящої елементарної функції до його збігання з графіком заданої функції. Цим методом особливо зручно користуватись, якщо задана функція може бути виражена через одну з елементарних функцій у вигляді . Тоді графік заданої функції буде комбінацією паралельних переміщень (горизонтальних і вертикальних), а також стиснень-розтягів (горизонтальних і вертикальних) графіка відповідної елементарної функції.

Нехай задано графік функції . Тоді мають місце наступні перетворення.

1. Горизонтальне переміщення . Графік функції одержується з графіка функції шляхом паралельного перенесення (при вліво,

п

Рис. 24

Рис. 23

ри вправо) на одиниць вздовж осі Ох (рис. 23 ).

2. Вертикальне переміщення . Графік функції одержується з графіка функції шляхом паралельного перенесення (при вверх, при вниз) на одиниць вздовж осі (рис. 24).

3. Стиснення-розтяг по осі ординат . У даному випадку графік функції ( ) одержується з графіка функції шляхом розтягу (при ) або стиснення (при ) останнього в разів вздовж осі абсцис (рис. 25).

Рис. 25

Рис. 26

4. Стиснення-розтяг по осі абсцис . У даному випадку графік функції ( ) одержується з графіка функції шляхом стиснення (при ) або розтягу (при ) останнього в або, відповідно, в разів уздовж осі абсцис (рис. 26).

5. Дзеркальне відображення. У випадку, якщо , то кожному значенню незалежної змінної буде відповідати протилежне за знаком значення ординати . Таким чином, графік нової функції буде дзеркальним відображенням функції відносно осі абсцис (рис. 27).

У випадку, якщо , то кожному значенню залежної змінної у буде відповідати протилежне за знаком значення абсциси . Таким чином, графік нової функції буде дзеркальним відображенням функції відносно осі ординат (рис. 28).

Рис. 27

Рис. 28

6. Взяття модуля. Нехай потрібно побудувати графік функції . Якщо , то , а отже, частину графіка, яка знаходиться у верхній напівплощині, потрібно залишити без зміни. Якщо , то , а це означає, що частину графіка, яка знаходиться у нижній напівплощині, потрібно дзеркально відобразити у верхню напівплощину симетрично відносно осі абсцис (рис. 29 ).

Н

Рис. 30

ехай потрібно побудувати графік функції . Оскільки ця функція парна, то її графік симетричний відносно осі ординат. Оскільки для , то для графіки і співпадають. Таким чином, для побудови графіка функції потрібно частину графіка, яка знаходиться у правій напівплощині, відобразити у ліву напівплощину симетрично відносно осі ординат (рис. 30).

Рис. 29