
- •Розділ 2. Функції
- •2.2. Способи задання функції
- •2.3. Область визначення та множина значень функції, заданої
- •2.4. Деякі властивості функцій
- •2.5. Асимптоти
- •2.7. Параметрично задані функції
- •2.8. Обернені функції
- •2.9. Складна функція
- •2.10. Класифікація функцій. Елементарні функції
- •2.10.1. Основні елементарні функції
- •2.11. Побудова графіків складних функцій методом перетворення
- •2.12. Функціональні моделі в економіці
- •2.12.1. Попит і пропозиції. Рівновага попиту і пропозицій
- •2.12.2. Функції загальних витрат, повного доходу та прибутку
- •2.12.4. Залежність величини попиту від доходу. Функції Торнквіста
- •2.12.5. Функція корисності, крива байдужості і лінія бюджетного
- •Запитання і завдання для самоперевірки
- •Завдання для самостійної роботи
2.10. Класифікація функцій. Елементарні функції
2.10.1. Основні елементарні функції
До основних елементарних функцій відносяться:
Степенева функція
, де
– дійсне число;
Показникова функція
, де
;
Логарифмічна функція
, де ;
Тригонометричні функції:
;
Обернені тригонометричні функції:
;
1.Степенева
функція
.
Розглянемо
окремі випадки степеневої функції:
а)
Функція
,
де n
– натуральне число. Область визначення
функції
,
а область значень
.
Функція парна. Спадна для
і зростаюча для
.
.
Графіки функцій при n=2
і n=4,
наведено на рис.4.
Функція
,
де n
– натуральне число. Область визначення
функції
,
а область значень
.
Функція непарна. Зростаюча для
.
Графіки функцій при n=1
і n=3,
наведено на рис. 5.
Рис.
4
Рис.
5
б)
Функція
,
де n
– натуральне число. Область визначення
функції
,
а область значень
.
Функція непарна. Спадна для
.
Функція
,
де n
– натуральне число. Область визначення
функції
,
а область значень
.
Функція парна. Зростаюча для
і спадна для
.
Графіки функцій при n=-1
і n=-2,
наведено на рис.6,7.
Рис.
6
Рис.
7
в)
Функція
,
де
– натуральне число. Область визначення
функції
,
а область значень
.
Функція зростаюча. Графік функції
наведено на рис. 8.
Функція
,
де
– натуральне число. Область визначення
функції
,
а область значень
.
Функція зростаюча. Графік функції
наведено на рис. 9.
Рис.
8
Рис.
9
2
Рис.
11
Рис.
10
.
Область визначення функції
уся множина дійсних чисел
,
а область значень
.
Якщо
,
то функція спадна, а якщо
– функція зростаюча. Графіки окремих
функцій наведено на рис. 10,11.
Показникова функція має широке застосування в економіці, зокрема, в математиці фінансів у формулі складних відсотків
,
де
Р
– початковий внесок, i
– відсоткова ставка, n
– кількість періодів (незалежна змінна),
– значення внеску після n
періодів нарахування (залежна змінна).
3.
Логарифмічна
функція
.
Область
визначення функції
,
а область значень
.
Якщо
,
то функція спадна, а якщо
–
функція зростаюча. Графіки окремих
функцій наведено на рис.12,13.
Рис.
13
Рис.
12
4.
Тригонометричні функції
,
,
,
.
а)
Функції
та
визначені на
та мають область значень
,
періодичні з періодом
.
Функція
непарна, її графік
Рис.
14
Рис.
15
(рис.14) симетричний відносно початку координат. Функція – парна, її графік (рис.15) симетричний відносно осі ординат.
б)
Функція
визначена на всій дійсній осі, крім
,
монотонно зростаюча в кожному інтервалі
області визначення.
Функція
визначена на всій дійсній осі, крім
,
монотонно спадна в кожному інтервалі
області визначення.
Функції
та
непарні,
симетричні відносно початку координат,
періодичні з періодом
,
область значень
,
їх графіки наведено відповідно на
рис.16,17.
Рис.
16
Рис.
17
5.
Обернені тригонометричні функції:
.
Функція
.
Оберненою тригонометричною функцією
називають дугу (кут) у,
із відрізка
,
синус якої дорівнює х.
Іншими словами, рівності
і
еквівалентні. Аналогічно визначаються
інші обернені тригонометричні функції.
Функція
визначена на
та має область значень
.
Монотонно зростаюча в області визначення,
непарна. Графік функції
наведено
на рис. 18.
Ф
Рис. 18
Рис. 19
визначена на
і має область значень
.
Монотонно спадна в області визначення.
Для функції
має
місце
рівність
.
Графік функції
наведено
на рис. 19.
Функція
визначена на
та має область значень
.
Монотонно зростаюча в області визначення,
непарна. Графік функції
наведено
на рис. 20.
Функція
визначена на
та має область значень
.
Функція монотонно спадна в області
визначення. Для функції
має
місце рівність
.
Графік функції
наведено
на рис. 21.
Рис. 20
Рис. 21
2.10.2. Елементарні функції
Функції, утворені з основних елементарних функцій та чисел із використанням арифметичних дій та операції взяття функції від функції (утворення складних функцій), називаються елементарними.
Найбільш типовими елементарними функціями, які мають застосування в економіці є цілі раціональні функції, дробово-раціональні функції та ірраціональні функції.
1. Цілі раціональні функції або поліноми (многочлени). У загальному вигляді поліноми записуються так:
,
де
y
і x
– відповідно залежна і незалежна змінні;
– дійсні числа. При цьому
.
Число n
у цьому
випадку показує степінь поліноміальної
функції.
Якщо
n=1,
тоді маємо
або
– лінійну функцію.
Якщо
n=2,
тоді маємо
або
– квадратичну функцію.
Якщо
n=3,
тоді маємо
або
– кубічну функцію.
При
n>1
поліном є нелінійною функцією. Із
нелінійних функцій найбільш широке
використання в економічних розрахунках
має квадратична функція
.
Скориставшись методом виділення повного квадрату, квадратичну функцію можна подати у вигляді
.
З
останньої рівності випливає, що графіком
квадратичної функції є парабола, вершина
якої знаходиться в точці
,
де
,
вітки
якої направлені вверх при
і – вниз при
.
2. Дробово-раціональні функції. Дробово-раціональними функціями називаються функції, які можна подати у вигляді відношення двох поліномів:
,
де Pm(x) і Qn(x) деякі поліноміальні функції. Областю визначення поліноміальної функції є множина усіх дійсних чисел, крім тих точок, у яких знаменник перетворюється в нуль, тобто, крім тих значень змінної х, які є дійсними коренями рівняння Qn(x)=0.
Приклади
дробово-раціональних функцій:
.
Г
Рис. 22
Наприклад,
функція
має вертикальну асимптоту
.
Графік цієї функції подано на рис. 22.
Крім вертикальних асимптот
дробово-раціональна функція може
мати одну горизонтальну асимптоту y=b
або нахилену
асимптоту y=ax+b,
які характеризуються поведінкою функції
на нескінченності.
Прикладом
дробово-раціональної функції може бути
математична модель вартості очистки
від забруднення цементом. Якщо p
відсоток очистки,
,
то вартість
очистки
атмосфери від забруднення цементом
складає величину
.
Ця
раціональна функція має вертикальну
асимптоту
і горизонтальну асимптоту
.
3. Ірраціональні функції. Функції, в яких, крім вище вказаних дій, використовується операція добування кореня, називаються ірраціональними. При цьому для кореня парного степеня враховується тільки його арифметичне значення.
Наприклад,
функції
,
– ірраціональні.