Задача 19 Вычисление длин дуг
Постановка задачи. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах
.
План решения.
Если кусочно-гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги равна
,
(1)
где и – значения , соответствующие граничным точкам дуги.
1. Находим
.
2. Вычисляем дифференциал длины дуги
.
3. Находим длину дуги, вычисляя определенный интеграл (1).
Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
.
Находим:
.
Длина дуги:
Задача 20 Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
Постановка задачи. Вычислить объем тела, если известны площади его поперечных сечений.
План решения.
Если 
–
площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к оси
и
пересекающей ее в точке с абсциссой
,
то объем части тела, заключенной между
плоскостями
и
,
определяется формулой
.
(1)
1. Находим
.
2. Находим объем согласно формуле (1).
Замечание. Аналогично вычисляются
объемы тел, если известны площади сечения
плоскостями, перпендикулярной оси
или
.
Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.
.
Сделаем чертеж.
Поперечным сечением является эллипс:
Площадь эллипса:
.
Объем:
Задача 21 Вычисление объемов тел вращения
Постановка задачи. Вычислить
объем тела, образованного вращением
области, ограниченного графиками функций
и
и,
возможно, прямыми
и
,
вокруг оси
.
План решения.
Объем тела, образованного вращением
области, ограниченной кривыми
и
и
прямыми
и
,
где
,
т.е. области, определяемой системой
неравенств
вычисляется по формуле
.
(1)
1. Определяем область
.
Если неравенства, определяющие область
,
неизвестны, т.е. неизвестны
и
и/или
неизвестно, какая из функций
и
больше
другой на отрезке
,
то выполняем следующие операции:
а) находим и как абсциссы точек пересечения графиков функций и , т.е. решаем уравнение
;
б) исследуем знак разности
на
отрезке
.
Для этого достаточно вычислить значение
в
какой-нибудь точке из
.
Если оно положительно, то
и,
следовательно,
и
.
Если оно отрицательно, то
и,
следовательно,
и
.
2. Вычисляем объем по формуле (1).
Замечание 1. Иногда бывает полезным построить график области и фигуры вращения.
Замечание 2. Аналогично решается задача, если тело образовано вращением области вокруг оси .
Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций (ось вращения ).
.
Строим график.
Объем тела вращения:
