1.6.3. Способи обертання

Спосіб обертання полягає в тому, що, зберігаючи взаємне розміщення площин проекцій, змінюють відносно них положення самої фігури, обертаючи її в просторі навколо певної осі, що називається віссю обертання, до тих пір, поки фігура не займе окреме положення (перпендикулярно або паралельно) відносно площин проекцій. При цьому всі точки фігури, яку обертають, будуть описувати в просторі дуги кіл, центри яких розміщуються на осі обертання, а площини цих кіл будуть перпендикулярні до осі обертання.

Залежно від вибору осі можливі такі способи обертання:

– навколо осі, перпендикулярної до будь-якої площини проекцій;

– навколо осі, яка паралельна до будь-якої площини проекції (навколо ліній рівня);

– навколо сліду-площини (спосіб суміщення).

1.6.4. Обертання навколо осі, перпендикулярної до будь-якої площини проекцій

При цьому способі всі точки фігури, яку обертають, переміщуються по дугах кіл, площини яких перпендикулярні до осі обертання. Центри цих кіл розташовані на осі обертання, а радіусами є найкоротша відстань до осі від точок, які обертаються.

Спосіб обертання розглянемо на прикладі перетворення прямої загального положення у пряму рівня (рис. 1.67, а).

Ч ерез точку В проводять вісь обертання і, пе­рпендикулярну горизонтальній площині проекцій, при цьому обертають тільки горизонтальну проекцію точки a (радіус обертання R = ab) до положення, коли горизонтальна проекція прямої ba₁ буде паралельна осі OX, тобто пряму загального положення перетворюють у пряму фронтального рівня (основна задача № 1). Одночасно фронтальна проекція a' точки переміщається паралельно осі OX. У результаті цього отримують НВ прямої і α – кут нахилу її до площини Н.

Для перетворення прямої загального положення в проеціюючу (основна задача № 2) спочатку виконують задача № 1, а потім проводять вісь обертання і₁ через “нове” положення точки А, перпендикулярно фронтальній площині проекцій (рис. 1.67, б).

Обертають тільки фронтальну проекцію точки b' (радіус обертання R = a'₁ b') до положення, коли фронтальна проекція прямої a'₁ b'₁ буде перпендикулярна осі ОХ. Разом з тим горизонтальна проекція точки b переміщується паралельно осі ОХ до положення, коли a₁  b₁.

Однократним обертанням навколо осі, перпендикулярної площині проекцій, можна визначити:

– натуральну величину відрізка прямої і кути нахилу її до площин проекцій;

– відстань від точки до площини.

Послідовним двократним обертанням можна визначити:

– відстань від точки до прямої;

– відстань між двома паралельними або двома мимобіжними прямими;

– кут між двома пересічними прямими;

– кут між двома площинами;

– натуральну величину будь-якої плоскої фігури.

Для здійснення двократного обертання фігуру обертають спочатку паралельно одній із площин проекцій, а потім – паралельно другій площині проекцій.

Приклади розв’язку задач на тему: “Обертання плоских фігур”

1. Задано: площину P(АBC) і точку D (рис. 1.68).

В изначити: відстань від точки D до площини P(АBC).

Розв’язок. Для визначення відстані від точки до будь-якої плоскої фігури (основна задача № 3) необхідно цю фігуру перетворити у проеціюючу.

Для перетворення площини P( АBC) у проеціюючу способом обертання необхідно у трикутнику провести вісь обертання через будь-яку точку. У заданому прикладі, для зручності (щоб не було накладання на кресленику) вісь обертання i проведено через точку С (рис. 1.68) перпендикулярно горизонтальній площині проекцій. Обертають усі точки  АBC і точку D до положення, коли горизонтальна проекція горизонталі h₁ буде перпендикулярна осі ОХ. Точки А і 1 розташовані на горизонталі h, точки В і D будують методом зарубок (дивись розділ 1.7.5, рис. 1.83). Фронтальні проекції всіх точок переміщуються паралельно осі ОХ. На перетині горизонтальних і фронтальних ліній зв’язку будують фронтальну проекцію площини P( АBC) b'₁, a'₁, c'₁. Із точки D опускають перпендикуляр на слід-площину b'₁, a'₁, c'₁ і визначають точку К. Унаслідок цього знаходять:

–  основу перпендикуляра точку К – точку його перетину зі слідом-площиною;

–  відстань від точки до площини (натуральну величину) d'₁ k'₁ .

Приклад задачі на тему: “Визначення натуральної величини плоскої фігури” (основні задачі № 3 і № 4).

Задано: площину P( АBC) (рис. 1.68).

Визначити: натуральну величину площини P( АBC).

Розв’язок. Для визначення натуральної величини будь-якої плоскої фігури способом обертання навколо осі, перпендикулярної до будь-якої площини проекцій, необхідно цю фігуру (у заданому прикладі  АBC) перетворити спочатку у проеціюючу (основна задача № 3) обертанням навколо осі i, перпендикулярної до горизонтальної площини проекцій, а потім перетворити в площину рівня (основна задача № 4) обертанням навколо осі i₁, перпендикулярної до фронтальної площини проекцій, зокрема:

1. Для перетворення площини P( АBC) у проеціюючу способом обертання необхідно у трикутнику провести вісь обертання через будь-яку точку. У заданому прикладі, для зручності (щоб не було накладання на кресленику) вісь обертання i проведено через точку С (рис. 1.68) перпендикулярно горизонтальній площині проекцій. Обертають усі точки  АBC до положення, коли горизонтальна проекція горизонталі h₁ буде перпендикулярна осі ОХ. Точки А і 1 розташовані на горизонталі h, точку В будують методом зарубок (дивись розділ 1.7.5, рис. 1.83). Фронтальні проекції всіх точок переміщуються паралельно осі ОХ. На перетині горизонтальних і фронтальних ліній зв’язку будують фронтальну проекцію площини P( АBC) b'₁, a'₁, c'₁.

2. Щоб перетворити проеціюючу площину P( АBC) у площину рівня, необхідно через точку В₁ провести вісь обертання i₁, яка перпендикулярна фронтальній площині проекцій. Обертають фронтальні проекції точок a'₁, c'₁ до положення, коли слід проеціюючої площини буде паралельним осі ОХ, тобто b'₁, a'₂, c'₁  ОХ. На перетині горизонтальних і фронтальних ліній зв’язку будують горизонтальну проекцію площини a₂, b₁, с₁, яка і є натуральною величиною площини P( АBC).