2.3. Методы анализа, использующие законы Кирхгофа

В зависимости от того, какой закон Кирхгофа используется для анализа, эти методы получили следующие названия:

− метод токов ветвей;

− метод контурных токов;

− метод узловых напряжений (потенциалов).

Принцип применения этих методов основан на составлении системы алгебраических уравнений по эквивалентной схеме и решении этой системы.

В методе токов ветвей неизвестными величинами являются токи ветвей, а уравнения системы составляются по двум законам Кирхгофа. Число неизвестных в общем случае равно числу ветвей n_в. У эквивалентной схемы, содержащей n_в ветвей, n_у узлов число независимых уравнений системы по первому закону Кирхгофа равно (n_в −1), а по второму − [ −( −1)]. При наличии в схеме ветвей с источниками тока, количество необходимых уравнений уменьшается на число таких ветвей.

После определения требуемого количества уравнений, узлы и выбранные контуры эквивалентной схемы нумеруются, а в контурах, кроме того, указывают направление обхода. Обычно для анализа выбираются смежные контуры и направления обхода указываются однотипно.

Для эквивалентной схемы на рисунке 2.3 необходимо три уравнения. Система имеет вид:

,

, (2.5)

.

(1)

+ +

1К 2К

(0)

Рис. 2.3

В методе контурных токов уравнения системы составляются только по второму закону Кирхгофа. число уравнений, при отсутствии ветвей с источниками тока, равно [n_в –(n_у-1)]. Этот метод на самом деле является лишь результатом промежуточного решения системы типа (2.5), когда в процессе решения вначале исключается ток общей для контуров ветви , а оставшиеся два уравнения записываются в виде:

, (2.6)

.

Рекомендуется применять метод контурных токов вместо метода токов ветвей, а систему уравнений сразу записывать в виде, аналогичном (2.6).

Токам ветвей в системе (2.6) придают смысл контурных, т.е. совпадающих с указанными на рис. 2.3 направлениями обходов контуров и обозначают обычно двумя индексами: . На самом деле – это токи только собственных ветвей контуров.

В методе узловых напряжений уравнения составляются только по первому закону Кирхгофа, число уравнений − (n_у−1). Один из узлов принимается за нулевой, условно заземляется ( = 0), а напряжения остальных узлов являются неизвестными для системы уравнений.

(1) R (2)

I3

I2

(0)

Рис.2.4

Система уравнений по методу узловых напряжений для схемы (рис. 2.4) имеет вид:

(2.7)

Верхнее уравнение относится к первому узлу, нижнее − ко второму. У источников энергии знаки ''плюс'', если источники направлены к анализируемому узлу. Уравнения системы (2.7) получены по первому закону Кирхгофа, например, для узла (1):

;

;

I3=U₀–U₁= –U₁/R3;

.

Число необходимых уравнений уменьшается, если в схеме имеются ветви с идеальными источниками ЭДС, без сопротивлений.