![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть 2. Кинематический анализ
- •Тензорно-матричный метод 15
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Прямая задача кинематики о положениях
- •2.1. Тензорно-матричный метод
- •Метод расширенных матриц перехода
- •2.3. Расчет и построение зоны обслуживания
- •3. Прямая задача о скоростях и ускорениях
- •3.1. Тензорно-матричный метод
- •3.2. Метод планов
- •4. Библиографический список
3.2. Метод планов
Ось вращения
первого звена относительно базовой
системы координат
совпадает с осью
.
Исходя из величины скорости
равной
по величине
,
примем масштаб
.
Из полюса
,
являющегося началом системы координат
плана угловых скоростей, проводим
отрезок
длиной 50 мм вдоль оси вращения
(рис.
5). Скорость
совпадает с
,
так как второе звено совершает
поступательное движение. Результирующая
скорость
имеет две составляющие:
и
.
Скорость
известна и в соответствии с рис. 4,
направлена под углом 30 градусов к оси
X
в плоскости
.
Из конца вектора
проводим отрезок длиной 50 мм в указанном
направлении. Соединяя точку полюса с
концом построенного вектора
,
получим искомый вектор
.
Измеряя длины отрезков, можно получить
значения искомых параметров и сравнить
с аналитическим расчетом.
Рисунок 5. П лан угловых скоростей
Построение плана
угловых ускорений (рис. 6) начинаем с
определения полюса
и величины масштаба в соответствии с
угловым ускорением
,
направленного, как и
вдоль оси
.
Примем масштаб
.
Из полюса
,
являющегося началом системы координат
плана угловых скоростей, проводим
отрезок
длиной 40 мм. Ускорение второго звена
совпадает с
.
По законам ТММ, угловое ускорение
третьего звена определяется следующим
выражением:
. (57)
Относительное
ускорение
равно
и в соответствии с рис. 4, направлено под
углом 30 градусов к оси Y
в плоскости
.
В указанном направлении, из конца вектора
в той же плоскости проводим отрезок
длинной 40 мм, характеризующий угловое
ускорение третьего звена относительно
первого. Составляющая
имеет
величину:
(58)
и направлена под
углом 30 градусов к оси Y,
однако лежит в отрицательной области
оси Х
плоскости
.
Из конца вектора
,
проводим отрезок длиной 50 мм. Отрезок,
соединяющий полюс плана и конец вектора
,
будет искомым угловым ускорением
третьего звена.
Построение плана
линейных (рис. 7) скоростей начинаем с
определения полюса
.
Точки О и А не имеют линейных скоростей.
Точка В принадлежит поступательному
звену, однако лежит на линии вращения
поступательного звена и потому равна
нулю. Линейная скорость точки С,
складывается из двух составляющих:
относительной скорости движения второго
звена относительно первого
и произведения угловой скорости второго
звена на проекцию этого звена в абсолютной
системе координат.
Рисунок 6. П лан угловых ускорений
В соответствии с
рис. 4, вектор скорости
направляется противоположно оси
под углом в 30 градусов. Величина
составляет 0,5 м/с
(табл. 4). Принимаем масштаб плана скоростей
и проводим отрезок характеризующий
длиной 50 мм. Составляющая угловой
скорости в
,
направлена перпендикулярно
и равна произведению:
. (59)
Из конца , проводим отрезок длиной 20 мм и по правилу треугольника, достраиваем вектор .
Построение скорости
точки D
осуществляется путем сложения скорости
точки С
и
.
Относительная скорость
,
так как вид кинематической пары D
– вращательная. На рис.7, скорость
лежит в плоскости
,
так как движение второго звена
осуществляется только относительно
оси
.
Однако,
имеет уже три составляющие и лежит в
пространстве, образуя параллелепипед.
Диагональ параллелепипеда лежит под
углом 30 градусов к оси X
и под углом 60 градусов к оси Z
(в соответствии с рис. 4). Составляющая
по оси Z,
определяется длиной
,
а составляющие по осям Х
и Y,
обоими элементами составного звена.
Соединение точки полюса плана с концом
построенного вектора
дает искомый вектор
.
Анализируя план линейных скоростей, можно сказать, что линейная скорость точки D, в первую очередь определяется величиной скорости поступательного звена, а вращательные звенья манипулятора в таком случае выступают в качестве ориентирующих.
Рисунок 7. П лан линейных скоростей
Построение плана
линейных ускорений (рис. 8) начинаем с
определения полюса
.
Точки О, А и В не имеют линейных ускорений.
Линейное ускорение точки С, складывается
из составляющих релятивного ускорения
(обусловлено относительным ускорением
второго звена относительно первого,
определяется аналогично переносной
скорости
,
направлено вдоль звена), нормального
(обусловлено угловой скоростью второго
звена, определяется проецированием на
базовую систему координат, направлено
к центру вращения с учетом проекции
звена), касательного
(обусловлено угловым ускорением второго
звена, определяется проецированием на
базовую систему координат, направлено
перпендикулярно касательному ускорению),
и ускорения Кориолиса
(обусловлено сложным характером движения
– вращательное второго звена и
поступательное первого звена, с учетом
не параллельности главных осей звеньев):
. (60)
С учетом правил
построения векторов ускорений, имеем,
что сонаправлены пары ускорений
с
и
с
.
Как и для скорости
,
результирующий вектор
должен лежать в плоскости
.
На первом этапе построения плана линейных
ускорений, выполним построение векторов,
составляющих
.
Вектор
направлен противоположно
(см. рис.7) – под углом 30 градусов к оси
.
Из табл. 3, величина
.
Принимаем масштаб плана ускорений
.
Проводим отрезок длиной 10 мм. Аналогично
направленный по второму звену вектор
,
определяется произведением квадрата
угловой скорости на длину второго звена:
. (61)
Проводим отрезок длиной 10 мм из конца вектора в том же направлении. Перпендикулярно направленный вектору , вектор , определяется величиной:
.
(62)
Проводим отрезок
длиной 8 мм из конца вектора
в перпендикулярном направлении. Величина
кариолисова ускорения определяется
величиной:
. (63)
Из конца вектора , проводим отрезок длиной 50 мм, характеризующий . Складывая длины четырех указанных векторов, получаем ускорение .
Точка D
принадлежит вращательному звену 3,
потому ускорение
не имеет составляющей релятивного
ускорения, а так как главные оси второго
и третьего звеньев параллельны, то
отсутствует и кориолисово ускорение.
Остаются составляющая
,
а так же нормальная и тангенциальная
составляющие:
. (64)
Достраивая
взаимоперпендикулярные вектора
и
,
получаем искомое ускорение точки D
.
Анализируя план линейных ускорений, делаем вывод о том, что ускорение точки D в первую очередь определяется ускорением Кориолиса, зависящим от достаточно высокого значения линейной скорости второго звена (см. табл. 4). Необходимо отметить и то, что. Достаточно малы значения нормальной и касательной составляющих для третьего звена, по причине малых габаритов этого звена. Пример плана линейных ускорений наглядно доказывает то, что третье звено в манипуляторе предназначено в первую очередь для ориентирующей функции, а кинематическую функцию исполняет второе звено.
Рисунок 8. П лан линейных ускорений