2. Прямая задача кинематики о положениях

Прямая задача о положениях состоит в определении абсолютных положений звеньев при их заданных относительных положениях.

2.1. Тензорно-матричный метод

Для определения величины результирующего радиуса-вектора крайней точки многозвенного механизма, необходимо, составить соответствующее матричное уравнение, характеризующее положение крайней точки, относительно базовой системы координат.

Для тензорно-матричного метода нет необходимости изменения систем координат звеньев. Достаточно записать соответствующие матрицы поворота и переноса для базовой системы координат совмещенной с системами координат соответствующих звеньев. При решении прямой задачи о положении схвата манипулятора обычно используют метод преобразования координат.

Рассмотрим трехмерную декартовую систему координат, являющуюся правосторонней. Примем соглашение, в соответствии с которым будем считать положительными такие повороты, при которых (если смотреть с конца полуоси  в направлении начала координат) поворот на 90° против часовой стрелки будет переводить одну полуось в другую. На основе этого соглашения строится следующая таблица, которую можно использовать как для правых, так и для левых систем координат:

 

Если ось вращения	Положительным будет направление поворота
X	От  y  к  z
Y	От  z  к  x
Z	От  x  к  y

Матрицы поворота М определяют поворот системы координат соответствующего звена для корреляции относительно предыдущего по порядку. В зависимости от поворота вокруг соответствующей оси выделяется три стандартных типа матриц поворота. Повороты вокруг осей Х, Y и Z определяются соответственно матрицами:

, (2)

, (3)

. (4)

Подставляя значения углов поворота относительно соответствующих осей, определяем матрицы поворота.

В сочетании с матрицами поворота, учитываются так называемые матрицы переноса L, по факту являющиеся векторами. Они определяют линейные смещения систем координат звеньев друг относительно друга. В общем виде, матрица L имеет следующий вид:

. (5)

Положение схвата манипулятора, описываемое радиусом вектором

(6)

определяется векторным уравнением, сочетающим комбинацию длин векторов переноса с перемещениями звеньев и матриц переноса . Построение уравнения начинается с крайнего звена и по порядку, вплоть до начального:

Каждое следующее добавление нового элемента в выражение по определению положения схвата сопровождается, либо добавлением нового слагаемого в виде линейного перемещения звена, либо матрицы поворота, при угловом перемещении [2, 5].

(7)

Пример 1.

Рассмотрим пример расчета положения схвата для кинематической схемы манипулятора, представленной на рис. 1 тензорно-матричным методом, с учетом представленных в таблице 1 исходных данных для расчета.

Таблица 1.

№ Варианта	Звено	Длина, м		Угол поворота, град		Перемещение, мм
				Общ	Расч	Общ	Расч
1	1	2		360	-			-	-
	2	1,75				1,3	-			-	-
	3	1,2	0,5	360	-			-	-

Выражение для радиус-векотра точки выходного звена в соответствии с правилами построения принимает следующий вид:

. (8)

На рисунке 2 проиллюстрировано построение систем координат звеньев в соответствии с тензорно-матричным методом. Для всех кинематических пар, ориентация звеньев остается постоянной, с тем отличием, что происходит корректирование угла поворота в случае вращательного движения ( и ) и дополнительный перенос в случае поступательного движения . При условии, что , система координат совпадает с , а с .

Рисунок 2. Системы координат и параметры трехзвенного манипулятора для тензорно-матричного метода расчета задачи о положениях.

Звено 1 вращается относительно стойки и базовой системы координат вокруг оси Z. Соответственно в уравнении (8) учитывается длина звена 1 вдоль оси Z:

(9)

и матрица поворота вокруг оси Z:

. (10)

является общей для всех последующих звеньев механизма после первого. Второе звено – поступательное, поэтому вместо матрицы поворота, учитывающей обобщенные угловые координат, используется матрица переноса с обобщенной линейной координатой, выраженной перемещением второго звена относительно первого вдоль оси X в отрицательном направлении:

. (11)

Длина звена 2 учитывается вектором:

. (12)

Третье звено является последним в кинематической схеме и определяется матрицей поворота вокруг оси X:

(13)

и длиной двусоставного звена

. (14)

Знак “–“ указывает на отрицательное направление звеньев относительно осей.

Подставляя значения матриц (8-13) в (7), определим значение радиус-вектора схвата в общем виде:

. (15)

Подставим в выражение (15) общие численные значения для обобщенных переменных и геометрических параметров кинематической схемы из таблицы 1, определив в координатах, положение схвата манипулятора для общего расчета:

(м). (16)