![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть 2. Кинематический анализ
- •Тензорно-матричный метод 15
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Прямая задача кинематики о положениях
- •2.1. Тензорно-матричный метод
- •Метод расширенных матриц перехода
- •2.3. Расчет и построение зоны обслуживания
- •3. Прямая задача о скоростях и ускорениях
- •3.1. Тензорно-матричный метод
- •3.2. Метод планов
- •4. Библиографический список
3. Прямая задача о скоростях и ускорениях
Прямая задача о скоростях и ускорениях состоит в определении абсолютных величин линейных скоростей и ускорений точек звеньев манипулятора и абсолютных угловых скоростей и ускорений звеньев, при заданных относительных величинах.
3.1. Тензорно-матричный метод
Решение
выполняется на базе основных зависимостей
теории механизмов и машин для скоростей
и ускорений. Однако все выражения
записываются в векторном виде, учитывающем
составляющие параметров по осям
координат. Основным отличием решения
задачи о скоростях и ускорениях для
пространственной конструкции манипулятора
от плоских механизмов, является
необходимость нахождения проекций
единичных векторов соответствующих
осей шарниров, при определении угловых
параметров и
проекций звеньев, при определении
линейных параметров, на оси
базовой системы координат
.
П
В состав кинематической цепи манипулятора (рис.4.) входят три подвижных звена, вращательные А, С и поступательная В кинематические пары V класса. Их положение в пространстве, а также положение точки D схвата характеризуется длинами звеньев, линейными и угловыми обобщенными координатами (расчетные значения), известны линейные и угловые относительные скорости и ускорения звеньев руки (табл. 4).
Определить угловые скорости всех звеньев руки манипулятора, а также линейные скорости и ускорения точек B, C и D.
Таблица 4.
№ Варианта |
Звено |
Длина, м |
Угол поворота, град |
Перемещение, мм |
|
|
|
|
|||
|
|
Общ |
Расч |
Общ |
Расч |
||||||
1 |
1 |
0,5 |
|
- |
30 |
|
|
0,2 |
0,5 |
|
|
2 |
0,4 |
|
|
|
- |
0,1 |
|
|
0,1 |
0,5 |
|
3 |
0,1 |
0,1 |
- |
60 |
|
|
0,2 |
0,5 |
|
|
Решение.
Проекции единичных
векторов
и
соответствующих осей шарниров А и С на
оси системы координат
описываются матрицами:
. (25)
Для звена 1 определяем векторы угловой скорости и углового ускорения и соответствующие матрицы:
. (26)
Рисунок 4. О тносительные кинематические параметры трехзвенного манипулятора
Для звена 2 угловую скорость и ускорение определяем с помощью векторных уравнений:
(27)
Векторы относительной угловой скорости и относительного углового ускорения, характеризующие закон вращения звена 3 относительно звена 2, определяют по формулам:
(28)
Для определения
угловой скорости
и углового ускорения
третьего звена составляем векторные
уравнения:
. (29)
В эти уравнения
входит векторное произведение
которое, как и произведение любых двух
векторов
,
описываемых матрицами:
(30)
в общем виде превращается в вектор с матрицей
. (31)
Подставляя (27) и (28) в (31), получим матрицу-столбец вектора :
. (32)
Подставив (25), (26) и (32) в (29), определяем матрицы
, (33)
а
по ним – модули векторов угловой скорости
и углового ускорения:
.
Для определения
проекций векторов
на оси координат
записывают матричные уравнения
(34)
(35)
-
столбец координат точки D
в системе
, (36)
- матрицы переноса соответственно от систем коородинат 1 к 0 и 2 к 1:
(37)
-матрицы поворота при переходе соответственно от систем координат 1 к 0 и 3 к 2;
Подставив (35)-(37) в (34), получим матрицы
. (38)
Запишем модули соответствующих векторов
|OB|=0,5000 м; |BC|=0,5000 м; |CD|=0,1414 м.
Скорость точки В
(39)
Так как угол между
векторами
равен нулю, то
.
Для определения скорости точки С используется векторное уравнение
. (40)
Здесь
,
откуда получаем матрицу
. (41)
Пользуясь
зависимостями (1), (4) и (12), определяем
элементы матрицы-вектора
:
. (42)
Подставляя (14) и
(15) в (13), получим матрицу-столбец вектора
(43)
а
также его величину |
|=0,5990
м/с.
Скорость точки D
. (44)
Пользуясь
зависимостями (31), (33) и (38), определяем
матрицу-столбец вектора
:
, (45)
а
затем матрицу вектора
как сумму матриц (43,) и (45):
, (46)
а
также его величину
=0,5622
м/с.
Ускорение точки В:
. (47)
Вектор
и угол между векторами
равны нулю, следовательно,
.
Ускорение точки С:
(48)
Здесь
откуда матрица
. (49)
Используя зависимости
(27), (31) и (38), составляем матрицу векторного
произведения
:
. (50)
Для определения
матрицы векторного произведения
используем зависимости (27), (31) и (38):
. (51)
Матрицу вектора
ускорения Кориолиса
составляют с использованием зависимостей
(27), (31) и (41)
. (52)
Складывая матрицы
(49)-(52), получим матрицу вектора
:
. (53)
Модуль вектора
ускорения
Ускорение точки D
(54)
где матрицы входящих в уравнение векторных произведений определяют с использованием зависимостей (31), (33), (38) и (53):
. (55)
Складывая матрицы
(24)-(26), получим матрицу-столбец вектора
:
, (56)
откуда
модуль вектора ускорения
.