1 . Поняття дробу

Історично виникнення дробів зв’язано з вимірюванням величин. З’ясуємо, як, наприклад, можуть з’явитися дроби при вимірюванні довжини відрізка.

Візьмемо відрізок а. щоб знайти його довжину візьмемо в якості одиниці довжини відрізок е. При вимірюванні виявилось, що довжина відрізка а більше 3е, але менше 4е, тому її не можна виразити натуральним числом.

Але якщо розбити відрізок е на 4 рівні частини, кожна з яких рівна , то довжина відрізка а виявиться рівною 14 . Якщо ж повернутися до вихідної одиниці е, то ми повинні сказати, що відрізок а складається з 14 відрізків, рівних четвертій частині відрізка е, тобто, говорячи про довжину відрізка а, ми повинні оперувати двома натуральними числами 14 і 4. домовились в такій ситуації довжину відрізка записувати у вигляді , а символ називати дробом.

Означення. Нехай дано відрізок а і одиничний відрізок е, причому відрізок е являється сумою п відрізків, рівних . Якщо відрізок а складається з т відрізків, рівних , то його довжина може бути представлена у вигляді . Символ називають дробом, т і п – натуральні числа.

Повертаючись до нашого прикладу варто сказати, що ми могли взяти, наприклад, восьму частину відрізка е, яка вміщується ціле число раз у відрізок а. тоді його довжина буде рівна . Можна взяти шістнадцяту частину відрізка е, тоді відрізок а буде складатись з 56 таких частин і його довжина буде рівна і т. д.

Означення. Дроби, що виражають довжину одного і того ж відрізка при одиниці довжини е, називають рівними дробами.

Ознака рівності дробів: для того щоб дроби і були рівними, необхідно і досить, щоб .

Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне і те ж натуральне число, то отримаємо дріб, що дорівнює даному.

Скорочення дробів – це заміна даного дробу іншим, що дорівнює даному, але з меншим чисельником і знаменником.

Дріб у якого чисельник і знаменник взаємно прості, називається нескоротним.

Зведення дробів до спільного знаменника – це заміна дробів рівними їм дробами, що мають однакові знаменники. Спільним знаменником двох дробів є спільне кратне їх знаменників, а найменшим спільним знаменником – їх найменше спільне кратне.

Відношення рівності дробів є відношенням еквівалентності.

2. Додатні раціональні числа. Алгебраїчні операції над раціональними числами

Означення. Додатне раціональне число – це множина рівних між собою дробів, а кожен дріб, що належить цій множині, є записом (зображенням) цього числа. Множина додатних раціональних чисел позначається ,

Теорема. Для будь – якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що зображує це число.

Означення. Якщо додатні раціональні числа а і b зображуються дробами і , то сумою чисел а і b називається число, що зображується дробом .

Теорема. Для будь – яких додатних раціональних чисел а і b їхня сума а + b існує і при тому єдина.

Властивості операції додавання раціональних чисел:

Комутативність ;

Асоціативність .

Дріб називають правильним, якщо , і неправильним – якщо . Якщо - неправильний дріб, то: , де q – ціла частина дробу (натуральне число), - правильний дріб.

Будь – який неправильний дріб, в якому чисельник не кратний знаменнику, можна зобразити єдиним чином у вигляді суми його цілої частини та правильного дробу з тим самим знаменником, що й даний неправильний дріб. Цю операцію називають виділенням цілої частини з неправильного дробу.

Означення. Нехай а і b – додатні раціональні числа. Тоді а менше b, якщо існує таке додатне раціональне число с, що а+с=b.

Означення. Різницею додатних раціональних чисел а і b називають таке додатне раціональне число с, що с+b=а.

Теорема. нехай , різниця а – b існує тоді і тільки тоді, коли . Якщо різниця існує, то вона єдина.

Означення. Якщо додатні раціональні числа зображені дробами і , то їх добуток є число, що зображується дробом .

Теорема. Для будь – яких додатних раціональних чисел а і b існує добуток аb і при тому єдиний.

Властивості множення:

Комутативність

Асоціативність

Дистрибутивність відносно додавання

Монотонність

Означення. Часткою двох додатних раціональних чисел а і b називається таке число с, що .

Нехай , . Покажемо, що число і є часткою.

За означенням частки а = bc= .

Скоротимо одержаний дріб на натуральне число pq:

.

Отже, частку двох раціональних чисел знаходять за формулою:

а:b= .

Риску дробу в записі можна розглядати як знак дії ділення m: n.

Термін «раціональне число» виник від латинського слова ratio, що в перекладі на українську мову означає «відношення» (частка).