- •Модуль 3
- •Тема 3.1.
- •Десяткова система числення (алгоритми виконання дій)
- •Запис і читання чисел в десятковій системі числення
- •2. Порівняння чисел за їх записом в десятковій системі числення
- •3. Алгоритм додавання в десятковій системі числення
- •4. Алгоритм віднімання в десятковій системі числення
- •5. Алгоритм множення в десятковій системі числення
- •6. Ділення багатоцифрових чисел в десятковій системі числення.
- •1 . Позиційні і непозиційні системи числення
- •2. Запис і читання чисел в інших недесяткових системах числення
- •3. Алгоритм переходу від десяткової системи числення до іншої позиційної системи з довільною основою q
- •4. Перехід від недесяткової системи числення до десяткової
- •5. Перехід від однієї недесяткової системи числення до іншої недесяткової системи числення
- •6. Алгоритми додавання і віднімання, множення і ділення чисел в недесяткових системах числення
- •Виконати множення в трійковій системі числення: 2102 · 21; 122 · 22.
- •П рактичне заняття № 1
- •План та хід заняття
- •1. Поняття відношення подільності
- •2. Властивості відношення подільності
- •3. Достатня умова подільності суми (різниці)
- •4. Достатня умова подільності добутку
- •5. Ознаки подільності чисел на 2 і на 5
- •6. Ознаки подільності чисел на 4 і на 25
- •7. Ознаки подільності чисел на 3 і на 9
- •8. Загальна ознака подільності Паскаля
- •П рактичне заняття № 2
- •План та хід заняття
- •1 . Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •2. Обчислення найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного за канонічним розкладом чисел
- •3. Алгоритм Евкліда
- •4. Ознака подільності на складені числа
- •П рактичне заняття № 3
- •План та хід заняття
- •1 . Поняття дробу
- •2. Додатні раціональні числа. Алгебраїчні операції над раціональними числами
- •3. Десяткові дроби
- •Множина додатних ірраціональних чисел. Додатні дійсні числа
- •5. Алгебраїчні операції над додатними дійсними числами
- •П рактичне заняття № 4
- •Хід заняття
- •1 . Алфавіт математичної мови
- •2. Числові вирази
- •3. Вирази із змінними
- •4. Тотожні перетворення виразів. Тотожності
- •Числові рівності і нерівності
- •Основні властивості числових рівностей
- •Основні властивості числових нерівностей
- •8. Рівняння з однією змінною
- •9. Нерівність з однією змінною. Рівносильність нерівностей
- •П рактичне заняття № 5
- •План та хід заняття
- •П оняття числової функції
- •Лінійна функція
- •Пряма пропорційність
- •Обернена пропорційність
- •П рактичне заняття № 6
- •План та хід заняття
- •2. Поняття величини
- •3. Адитивно-скалярні величини та їх властивості
- •П рактичне заняття № 7
- •План та хід заняття
- •П рактичне заняття № 13
- •Практичний блок
- •План та хід заняття
- •Література
- •Модульна контрольна робота № 2 Цілі невід’ємні числа. Додавання і віднімання, множення та ділення цілих невід’ємних чисел
- •Модульна контрольна робота № 3 Цілі невід’ємні числа і операції над ними
- •Модульна контрольна робота № 4 Розширення поняття числа. Елементи алгебри. Величини та одиниці їх вимірювання
- •Додаток 4 Критерії оцінювання успішності студентів з дисципліни «Теоретичні основи математики»
- •Система рейтингових балів для різних видів контролю: Теоретичні основи математики
- •Додаток 5. Робоча програма для студентів
- •Література
4. Ознака подільності на складені числа
Доведені ознаки дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 9.
Сформулюємо ознаки подільності на 8, 25 і 11:
Число а ділиться на 8 тоді й тільки тоді, коли а2а1а0 ділиться на 8.
Число а ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли а1а0 ділиться на 25.
Число а ділиться на 11, якщо різниця цифр, що стоять на парних і непарних місцях, ділиться на 11. Наприклад. Чи ділиться число 256 375 на 11?
(5 + 3 + 5) – (7 + 6 + 2) = - 2. – 2 не на 11. Значить 256 375 не на 11.
Розглянемо ознаки подільності на складені числа.
Теорема. (ознаки подільності на 6) Для того щоб число а ділилося на 6, необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 2 і 3.
Доведення. Необхідність. Дано а 6. Довести, що а 2 і а 3.
Нехай а 6. Тоді оскільки а 6 і 6 2, то а 2. Через те що а 6 і 6 3, то
а 3.
Достатність. Дано: а 2 і а 3. Довести: а 6.
Якщо а 2 і а 3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, а К(2,3). Оскільки Д(2, 3) = 1, то К(2, 3) = 2 3 = 6. Таким чином, а 6. Теорему доведено.
Теорема. (ознаки подільності на 12) Для того щоб число а ділилося на 12, необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4.
Доведення цієї теореми аналогічне попередній.
Теорема. (ознаки подільності на 15) Для того щоб число а ділилося на 15, необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.
Список ознак подільності на складені числа можна продовжити. Їх узагальненням є теорема:
Теорема. (Ознака подільності на складені числа). Для того щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де числа b і c такі, що Д (b, c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на b і на c.
Доведення цієї теореми проводиться аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.
Розглянемо ознаку подільності на 60. Для того щоб число ділилось на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на 4 і на 15.
Але, в свою чергу, число ділиться на 15 тоді й тільки тоді, коли воно ділиться на 3 і на 5. Тому ознаку подільності на 60 можна сформулювати так:
Для того, щоб число ділилось на 60, необхідно й достатньо, щоб воно ділилось на 4, на 3 і на 5.
Задача. Встановити, чи діляться числа 1548 і 942 на 18.
Сформулюємо спочатку ознаку подільності на 18:
Для того щоб число ділилось на 18, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на 2 й на 9.
Чому вибрано числа 2 і 9? По-перше, 2 9 = 18, а по-друге, Д (2, 9) = 1, тобто числа 2 і 9 задовольняють теорему про подільність на складені числа.
Представлення 18 у вигляді 3 6 не підходить, тому що Д (3, 6) 1.
Користуючись ознаками подільності на 2 і на 9, стверджуємо, що 1548 2 і 1548 9. Отже, 1548 18.
Число 942 2, але воно не ділиться на 9. Тому число 942 не ділиться на 18.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
Курс математики. Навч. посібник. В. Н. Боровик. - К.: Вища шк. 1995 р. с. 164-171.
Основы начального курса математики. Учеб. пособие. Л. П. Стойлова. – М. Просвещение. 1988 г. с. 208- 215.
Математика. Множини. Логіка. Цілі числа. Практикум. В. М. Кухар. – К. Вища школа. 1989 р. с. 279, 286-294.