6. Ознаки подільності чисел на 4 і на 25

Теорема (ознака подільності на 4 і 25). Для того щоб число ділилося на 4 (на 25), необхідно й достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми цифрами.

Д оведення. Число а = а_nа_n-1...а₀ запишемо у вигляді суми двох доданків: a = (а_n10ⁿ + ... +a₂10²) + (a₁10 + a₀). Перший до­данок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох до­данків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число a₁a₀ = a₁10+a₀, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.

7. Ознаки подільності чисел на 3 і на 9

Теорема (ознака подільності на 3 і на 9). Для того щоб чис­ло а ділилося на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб на 3 або на 9 ділилася сума цифр цього числа.

Доведення. Запишемо число а у вигляді: а =a_n10ⁿ + ...+a₁10+a₀. Оскільки 10=9+1, 10² = 99+1, ..., 10ⁿ = 99...9 + 1, то а_n (99...9 + 1) + ... + a₁ (9+1) + а₀ =. (а_n99...9+…+a₁9)+(a_n+…+a₁+a₀).

n

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9. Отже, для того щоб число а ділилося на 3 або на 9, необхідно й достатньо, щоб сума однозначних чисел, виражених його цифрами (сума цифр) а_n + ... + a₁ + a₀, ділилася на 3 або на 9. Теорему доведено.

8. Загальна ознака подільності Паскаля

У XVII ст. відомий французький математик Б. Паскаль довів загальну ознаку подільності, яка доводиться для чисел, записа­них у будь-якій позиційній системі числення. Сформулюємо й доведемо її для натуральних чисел, записаних у десятковій системі числення.

Т еорема (ознака подільності Паскаля). Для того щоб число а_n+…а₀ ділилося на число m, необхідно й достатньо, щоб на число т ділилося число r= a_nr_n+…+a₁r₁+a₀, де rn— остача від ді­лення 10^k на число m, k = 1, 2, ..., п.

Доведення. Запишемо число a у вигляді а =a_n10ⁿ + ... +a₁10 + а₀ = mq_k + г_k, 0 < r_k < m, k = 1, 2, ... , п. Піс­ля підстановки цих значень у запис числа а дістанемо: a = (a_nq_n+ …+ a₁q₁)m + a_nr_n + … + a₁r₁ + a₀).

Теорему доведено.

Наведемо приклад застосування цієї ознаки для m = 11. Маємо 10 = 11-1; 10² = 11 · 9 + 1; 10³ = 11 . 91 - 1; 10⁴ =11 . 99 +1, … .

O тже, число а = а_n...а₁a₀ ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли різниця між сумою цифр, які стоять на непарних місцях, і су­мою цифр, які стоять на парних місцях, ділиться на 11, тобто число r = (а₀ + а₂ + …) — (a₁+a₃+ ...) ділиться на 11.

Так, число 6 671 829 ділиться на 11, бо число r = (9 + 8 + 7 + 6) - (2 + 1 + 5) = 30 – 8 = 22 ділиться на 11.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Курс математики. Навч. посібник. В. Н. Боровик. – К.: Вища шк.1995р. с. 156-161.

2. Основы начального курса математики. Учеб. пособие. Л. П. Стойлова. – М. Просвещение. 1988 г. с. 197 - 206.

3. Математика. Множини. Логіка. Цілі числа. Практикум. В. М. Кухар. – К. Вища школа. 1989 р. с. 275 – 281, 277-278.

П рактичне заняття № 2

Тема. Подільність чисел. Застосування ознак подільності суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел

Мета. Пригадати теоретичні відомості про подільність чисел та застосувати їх до розв’язування задач.

Студенти повинні знати:

• поняття відношення подільності;

• символ для позначення відношення “ділитись націло”;

• означення простого і складеного числа;

• властивості відношення подільності;

• ознаки подільності суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел.

Студенти повинні вміти:

• виконувати ділення одного числа на інше з остачею і націло;

• доводити ознаки подільності;

Література

1. Курс математики: Навч. посібник / В. Н. Боровик. – К. : Вища шк., 1995. с. 156-158, 170-171.

2. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. Вища шк., 1980. с. 153-154, 157-161.

3. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник / В. М. Кухар. – К. Вища шк., 1987. с. 192 -199.

4. Основы начального курса математики: Учеб. пособие Л. П. Стойлова. - М. “Просвещение” 1988. с. 197-203, 206-215.

5. Математика. Множини. Логіка. Цілі числа. Практикум. В. М. Кухар. – К. Вища шк., с. 1989. с. 275-283, 286-294.