5. Теорема пойнтинга

В макроскопической электродинамике система основных аксиом  уравнений Максвелла  дополняется двумя энергетическими аксиомами:

1) электромагнитная энергия распределена в пространстве с объ­емной плотностью , Дж/м³, где  объемная плотность энергии электрического поля;  объемная плотность энергии магнитного поля;

2) величина и направление потока электромагнитной энергии ха­рактеризуются вектором Пойнтинга .

С учетом этого закон сохранения энергии для электромагнитных процессов, происходящих в некотором объеме , ограниченном поверх­ностью (теорема Пойнтинга), имеет следующий вид:

,

где  мощность сторонних сил;  мощность тепловых потерь;  электромагнитная энергия, запасенная в обьеме ;  мощность, переносимая электромагнитным полем через поверхность ;  вектор, по направлению совпадающий с внешней нормалью;  внешняя нормаль к поверхности .

Таким образом, теорема Пойнтинга утверждает, что мощность сто­ронних сил, действующих в объеме , расходуется на тепловые потери, изменение электромагнитной энергии и излучение за пределы объема.

Отметим, что слагаемые и могут быть как положитель­ными, так и отрицательными; и всегда положительны.

Для полей, записанных в виде комплексных амплитуд, вводится комплексный вектор Пойнтинга . Среднее значение вектора Пойнтинга

,

где  период колебаний.

Аналогично определяются средние значения и других энергетичес­ких величин.

Задачи

5.1. Вычислить энергию, запасенную в плоском конденсаторе. Разность потенциалов между пластинами , площадь , расстояние между пластинами . Поле считать однородным. Вывести формулу для емкости конденсатора.

5.2. Определить, с какой стороны к линии подключены генератор и нагрузка, объяснить полученный результат (рис. 5.1).

5.3. Двухпроводная линия проходит через отверстия в идеально проводящем экране. Построить силовые линии вектора Пойнтинга вблизи экрана (рис. 5.2).

Е Е

Рис. 5.1 Рис. 5.2

5.4. Какого радиуса должны быть пластины плоского конденсато­ра, чтобы запасённая энергия равнялась 1 Дж. Конденсатор заряжен до 10³ В, , =1 мм.

5.5. По прямолинейному бесконечному проводнику радиусом течет постоянный ток, плотность которого . Проводник находится в вакууме. Чему равна плотность энергии магнитного поля на расстоянии 2 от оси проводника? Построить зависимость .

5.6. Магнитная и электрическая составляющие поля заданы формулами:

.

Записать мгновенное значение вектора Пойнтинга, найти среднее за период значение Пойнтинга, если =2 А/м.

4

1 2 3

Рис. 5.3

5.7. Плоский конденсатор подключается к источнику ЭДС величиной . Определить направление векторов Пойнтинга в точках 1, 2, 3, 4 в процессе заряда (рис. 5.3).

Рис. 5.4

5.8. По цилиндрическому проводнику радиусом , длиной про­текает ток с объемной плотностью . Проводимость материала провод­ника . Определить вектор Пойнтинга у поверхности проводника и его поток через эту поверхность. Объяснить полученный результат (рис. 5.4).

5.9. В изолированной системе =0, а мощность потерь про­порциональна запасу энергии ( ). Найти закон изменения энер­гии во времени, считая, что при =0 .

5.10. Внутри области происходит преобразование энергии сторон­них сил в электромагнитную, однако поток вектора Пойнтинга через границу области отрицателен. Описать возможные варианты баланса энергии.

5.11. Воздух начинает ионизироваться при напряженности элект­рического поля =3 кВ/мм. Определить плотность потока мощности плоских электромагнитных волн, при которой наступает ионизация. Частота колебаний достаточно мала для того, чтобы считать процесс ионизации безынерционным.

5.12. Показать с помощью вектора Пойнтинга, что вся энергия, передаваемая от источника к нагрузке в единицу времени по коакси­альному кабелю, канализируется по диэлектрику. Проводимости матери­ала жилы и оболочки принять бесконечно большими.

5.13. Определить тангенс угла, составляемого вектором напря­женности электрического поля с нормалью к поверхности жилы, а также подсчитать величину потока вектора Пойнтинга через боковую поверх­ность жилы на длине 1 см и сопоставить величину потока вектора Пойнтинга с потерями энергии в жиле на длине 1 см. Радиус медной жилы =0,3 см; внутренний радиус оболочки =1 см; протекаю­щий по кабелю постоянный ток =50 А; напряжение между жилой и оболочкой 10 кВ; удельная проводимость меди =5,810⁷ См/м.

5.14. Существует ли различие между значениями вектора для электромагнитных волн, поляризованных по кругу и линейно поляризо­ванных, если амплитуды и для них равны? Результаты связать с принципом суперпозиции для энергий, учитывая, что волна, поляризо­ванная по кругу, есть сумма двух линейно поляризованных волн.