72

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

А.И. БАКУЛИН, Б.В. КАГАЛЕНКО,

Н.И. ШАМЕЕВА, Г.Г. ЮМАШЕВА

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Рязань 2005

Министерство образования и науки Российской Федерации

Рязанская государственная радиотехническая академия

А.И. БАКУЛИН, Б.В. КАГАЛЕНКО,

Н.И. ШАМЕЕВА, Г.Г. ЮМАШЕВА

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Учебное пособие

Рязань 2005

УДК 538.3

Сборник задач по электродинамике: Учеб. пособие / А.И.Бакулин, Б.В.Кагаленко, Н.И.Шамеева, Г.Г.Юмашева; Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2005. 80 с. ISBN 5-7722-0076-3.

Настоящее учебное пособие дополняет лекционный материал по курсу "Электродинамика и распространение радиоволн". Содержит две­надцать разделов, представленных задачами, а также соответствующими формулами и определениями.

В разделе "Приложения" даны основные единицы измерения физи­ческих величин по международной системе единиц (СИ), классификация электромагнитных волн, сводка применений дифференциального операто­ра, корни функций Бесселя, приведены ответы и библиографический список.

Предназначено для студентов дневной и вечерней форм обучения специальностей 200700, 201000, 201200, 201600, 230200.

Табл. 9. Ил. 67. Библиогр.: 7 назв.

Электродинамика, поле, волновод, резонатор, вибратор

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанс­кой государственной радиотехнической академии.

Рецензент: кафедра РУС Рязанской государственной радиотехни­ческой академии (зав. кафедрой проф. С.Н.Кириллов)

Б а к у л и н Анатолий Иванович

К а г а л е н к о Борис Васильевич

Ш а м е е в а Нелли Измайловна

Ю м а ш е в а Галина Гавриловна

Сборник задач по электродинамике

Редактор Р.К. Мангутова

Корректор С.В.Макушина

Подписано в печать 26.04.05. Формат бумаги 60х84 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 5,0.

Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 150 экз. Заказ

Рязанская государственная радиотехническая академия.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТА.

ISBN 5-7722-0076-3 © Рязанская государственная

радиотехническая академия, 2005

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Обозначение координат и единичных векторов

 декартовы координаты;

 единичные векторы в декартовых координатах;

 цилиндрические координаты;

 единичные векторы в цилиндрических координатах:

 сферические координаты;

 единичные векторы в сферических координатах.

Обозначения величин

 векторный потенциал поля;

 магнитная индукция, Тл;

 электрическая емкость, Ф;

 скорость света (310⁸ м/с);

 электрическое смещение, Кл/м²;

 напряженность электрического поля, В/м;

 электродвижущая сила, В;

 частота, Гц;

 напряженность магнитного поля, А/м;

 сила тока, А;

 объемная плотность тока, А/м²;

 поверхностная плотность тока, А/м;

 линейная плотность тока, А;

 индуктивность, Гн;

 взаимная индуктивность, Гн;

мощность, Вт;

 добротность;

 объемная плотность заряда, Кл/м³;

 поверхностная плотность заряда, Кл/м²;

 линейная плотность заряда, Кл/м;

 радиус-вектор;

 текущее значение paдиyca в сферической системе координат;

 электрическое сопротивление, Ом;

 удельное поверхностное сопротивление, Ом;

 период, с;

 время, с;

 электрическое напряжение, разность потенциалов, В;

 фазовая скорость электромагнитной волны, м/с;

 групповая скорость электромагнитной волны, м/с;

 энергия, Дж;

 волновое сопротивление, Ом;

 характеристическое сопротивление, Ом;

 коэффициент затухания, 1/м;

 коэффициент фазы, 1/м;

 удельная проводимость, См/м;

 диэлектрическая проницаемость (относительная);

 электрическая постоянная (1/120 ), Ф/м;

 абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м;

 длина волны, м;

 длина волны в волноводе, м;

 магнитная проницаемость (относительная);

 магнитная постоянная (120 /с), Гн/м;

 абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м;

 коэффициент распространения волны, 1/м;

 вектор Пойнтинга, Вт/м²;

Ф  магнитный поток, Вб;

 потенциал (скалярный), В;

 магнитное потокосцепление, Вб;

 круговая частота, рад/с;

 коэффициенты отражения;

 коэффициенты прохождения.

1. Векторы Некоторые формулы векторной алгебры

Скалярное произведение векторов и :

,

где  угол между направлениями и .

Векторное произведение векторов и

где  единичный вектор нормали к плоскости векторов и , причем , и образуют «правую тройку» векторов.

В краткой записи

.

Векторное произведение некоммутативно .

Векторно-скалярное (смешанное) произведение , и

.

Двойное векторное произведение векторов , и

.

Операции векторного анализа

Для математического описания физического состояния точек пространства вводят понятия скалярных и векторных полей.

Одной из характеристик скалярного поля является градиент ( )  вектор, показывающий величину и направление наибыстрей­шего возрастания скалярного поля.

Направление градиента всегда перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности (поверхности равного уровня) и параллельно касательной к силовой линии поля в данной точке.

В декартовой системе координат

.

Дифференциальными характеристиками векторного поля являются скалярная величина  дивергенция ( ) и векторная величина  ротор ( ).

Значение дивергенции равно плотности источников рассматриваемого поля в заданной точки пространства.

Дивергенцию векторного поля вычисляют путем дифференцирования его проекций по соответствующим координатам.

В декартовой системе координат

,

в цилиндрической системе

,

в сферической системе координат

.

В декартовой системе координат

Если =0, то поле является потенциальным. Векторное поле , удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию =0, называется соленоидальным.

Соответствующими интегральными характеристиками векторного поля являются поток через замкнутую поверхность и циркуляция вектора .

Потоком вектора сквозь замкнутую поверхность называется интеграл вида .

Циркуляцией вектора по замкнутому контуру независимо от физического смысла вектора называется интеграл вида .

Поток и циркуляция  величины скалярные. В частном случае, когда вектор имеет смысл вектора силы, указанный интеграл выра­жает работу силы по контуру .

Дифференциальные операции со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью оператора Гамильтона . Применительно к скалярному полю ; относительно векторного поля , .

Из дифференциальных операций второго порядка в электродина­мике часто используется оператор Лапласа . Для скалярного поля , для векторного поля .

Оператор Лапласа в различных координатных системах записывает­ся следующим образом:

в декартовой системе

,

в цилиндрической системе

,

в сферической системе координат

.

Графически векторные поля изображают с помощью силовых линий. В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней. Густота силовых линий соответствует интенсивности поля. Дифференциальное уравнение силовых линий в декартовой системе координат имеет вид:

.

Для решения задач векторного анализа часто бывает удобно поль­зоваться формулой Грина ,

теоремой Стокса ,

теоремой ОстроградскогоГаусса .

Задачи

1. Найти сумму и разность двух векторов и :

; .

Показать, что эти векторы ортогональны.

2. Доказать коллинеарность векторов и :

; .

1.3. Найти скалярное, векторное произведения и угол между век­торами и : ; .

1.4. Найти уравнение силовой линии вектора .

1.5. Построить поле радиус-вектора .

1.6. Построить поле вектора .

1.7. Найти уравнение линии вектора .

1.8. Задан потенциал .

Найти градиент этого потенциала. Какую форму будyт иметь эквипотен­циальные поверхности?

1.9. Даны векторы и :

; .

Найти градиент скалярного произведения этих векторов.

1.10. Подсчитать поток радиус-вектора сквозь полную поверхность прямого круглого цилиндра радиусом основания , высотой .

1.11. Найти дивергенцию вектора = , где

, .

1.12. Найти дивергенцию векторного произведения полей и .

1.13. Найти дивергенцию вектора , где .

1.14. Скалярное поле задано в декартовой системе координат выражением . Вычислить векторное поле .

1.15. Найти циркуляцию вектора по окружности .

1.16. Вычислить циркуляцию радиус-вектора по окружности .

1.17. Подсчитать циркуляцию вектора

по периметру треугольника с координатами вершин (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0).

(0, 0) (0, 2)

(2, 0) (2, 2)

Рис. 1.1

1.18. Задан вектор . Вычислить по окружности .

1.19. Найти циркуляцию вектора по контуру . Вычислив поток вектора через поверхность, ограниченную контуром , убедиться в справедливости теоремы Стокса (рис. 1.1).

1.20. Проверить, каким является поле : соленоидальным или потенциальным?

1.21. Найти ротор вектора .

1.22. Найти дивергенцию ротора вектора (задача 1.21).

1.23. Задан вектор . Вычислить через замкну­тую поверхность S: .

1.24. Найти дивергенцию вектора

.

Вычислить интеграл , где  объем куба с ребром, равным единицe длины, и вершиной в начале координат. Определив поток век­тора через поверхность куба, убедиться в справедливости теоремы ОстроградскогоГаусса.

1.25. Вычислить поток радиус-вектора через поверхность сферы радиусом .

1.26. Определить дивергенцию и ротор вектора , характеризуе­мого следующими составляющими в цилиндрической системе координат: ; ; .

1.27. Найти поток вектора сквозь сферическую по­верхность радиусом . Центр сферы совпадает с точкой .

1.28. Доказать, что . Для доказательства использовать формулу векторной алгебры

.