3.3.6. Каскадные коды

Каскадные коды были введены в качестве метода практической реализации кодов с очень большой длиной блока и весьма высокой корректирующей способностью. Эти цели достигаются при наличии нескольких уровней кодирования многими различными способами. Распространенной является схема с двумя уровнями кодирования (рис. 3.18).

Рис. 3.18. Структура каскадного кодирования

Совокупность внутреннего кодера, канала и внутреннего декодера называется суперканалом. Совокупность внешнего и внутреннего кодеров называется суперкодером, а соответствующая совокупность на приемной стороне – супердекодером. Длина кодовой комбинации каскадного кода N^*=nN, количество информационных символов в ней K^*=kK, а скорость кода определяется по известной формуле . Каскадирование обеспечивает такую структуру кода, что декодирование может осуществляться с помощью двух декодеров для кодов с длинами N и n соответственно, что позволяет существенно снизить сложность декодера по сравнению с той, которая потребовалась бы при одном уровне кодирования при прочих равных условиях.

Наиболее часто в качестве внешнего кода используются коды Рида – Соломона, поскольку они являются кодами с максимальным расстоянием d=n-k+1 и относительно просто реализуются. В качестве внутреннего кода может использоваться например (2^K-1, K)-код максимальной длины.

Однако эти коды могут быть полезны только при использовании в очень широкополосных каналах, т.е. когда требуемые скорости передачи намного меньше той, которую обеспечивает полоса частот канала, поскольку эти коды обладают очень низкой скоростью.

Для получения скоростей передачи в диапазоне в качестве внутреннего кода может быть использован короткий блоковый код, обеспечивающий высокоскоростное декодирование. В качестве внутренних кодов применяются также сверточные коды с малой длиной кодового ограничения и декодированием Витерби. Эта структура каскадного кодирования является одной из самых эффективных и перспективных.

3.3.7. Оценка эффективности применения корректирующих кодов

Обычно качество системы связи оценивается отношением (E_б/N₀) энергии E_б, приходящейся на один информационный символ (бит) к спектральной мощности N₀ шума в канале, которое требуется обеспечить для достижения заданной вероятности ошибки p_б (т.е. верности передачи). Термин «выигрыш от кодирования» указывает на улучшение характеристик системы от использования данной схемы кодирования. Представление о взаимосвязи этих характеристик дают графики зависимостей p_б =f(E_б/N₀) .

Обычный метод определения выигрыша от кодирования состоит в сравнении графиков p_б =f(E_б/N₀) для систем без кодирования и с кодированием и определении разности значений E_б/N₀ при данной вероятности ошибки.

Например, в системе без кодирования для получения вероятности ошибки на бит на выходе фазового демодулятора, не больше pб =10-5 необходимо обеспечить Eб/N0 = 9,6 дБ (рис. 3.19).
	Рис. 3.19. Графики зависимостей pб =f(Eб/N0)

В этой же системе, но при использовании циклического кода с n=255 и R_K=0,8 та же верность, т.е. p_б =10^-5 может быть достигнута при E_б/N₀ = 6,3 дБ. В этом случае энергетический выигрыш от кодирования составляет 3,3 дБ.

Меняя для данного типа кода параметры кода, можно построить семейство таких характеристик. Семейства зависимостей p_б =f(E_б/N₀) для различных кодов можно найти в справочной литературе.

По этим кривым можно оценить энергетический выигрыш от кодирования, который учитывает как возможность снижения отношения сигнал/шум за счет уменьшения уровня сигнала, обеспечиваемую исправлением ошибок в декодере, так и дополнительные затраты энергии на передачу кодовых комбинаций, вызванные введением избыточности.

Методы исправления ошибок получили широкое распространение в каналах с аддитивным гауссовским шумом. Типичные случаи применения – радиолинии прямой видимости, в том числе линии космической и спутниковой связи. В подобных случаях цель состоит в уменьшении требуемого значения E_б/N₀ при фиксированной вероятности ошибки по сравнению с этим значением в системе без кодирования. Выигрыш от кодирования может быть затем использован наиболее эффективным способом: можно, например, уменьшить размер антенн или увеличить скорость передачи. Для получения значительного выигрыша от кодирования в таких каналах наиболее пригодны сверточные коды с малой длиной кодового ограничения и с декодированием Витерби. В частности, сверточный код с R=1/2 и полной длиной кодового ограничения равной 6 при p_б=10^-5 дает энергетический выигрыш 5 дБ. При фиксированном уровне сложности такой подход обычно предпочтительнее блоковых кодов. При умеренных и высоких скоростях поступления данных (от 10 кбит/c до 20 Мбит/с) сложность реализации данного подхода существенно меньше, чем других методов, приводящих к сравнимому выигрышу от кодирования. Если будут созданы более эффективные алгоритмы декодирования блоковых кодов, они, несомненно, будут сравнимы с алгоритмом Витерби. Пока что сложность существенно уменьшается лишь при использовании очень простого порогового декодирования и декодирования с табличным поиском. Однако получаемый при этом выигрыш от кодирования уменьшается на несколько децибел. При очень высоких скоростях поступления данных (свыше 20 Мбит/с) система, в которой каскадируются коды Рида-Соломона и короткие блоковые коды, при меньшей сложности дает примерно тот же выигрыш от кодирования, что и декодер Витерби. Для очень высоких скоростей поступления данных в некоторых системах использовались параллельные декодеры Витерби. Однако такая система оказалась очень дорогой. Алгоритм Витерби при высоких скоростях поступления данных является одним из лучших по зависимости стоимости от сложности. Сложность методов, которые могут оказаться лучше декодирования Витерби, пропорциональна скорости поступления данных. Оказывается, что они становятся привлекательными лишь при умеренных скоростях поступления данных (до 1 Мбит/с). При таких скоростях каскадная система в которой применяется код Рида-Соломона и декодер Витерби, дает примерно на 2 децибела больший выигрыш, чем обычный декодер Витерби, однако сложность при этом удваивается или утраивается. Несколько лучшим оказывается использование последовательного декодирования. При скоростях поступления данных до нескольких сотен килобит в секунду этот метод обеспечивает лучшие характеристики, чем декодирование Витерби, при примерно той же сложности. При более низких скоростях преимущества последовательного декодирования возрастают. При очень малой вероятности ошибки (p_б =10^-8) дополнительные преимущества приобретают коды с большим кодовым расстоянием. Например, каскадная система с последовательным декодированием приводит к выигрышу от кодирования, превышающему выигрыш, получаемый при декодировании Витерби, на 1 децибел. Таким образом, при очень низких вероятностях ошибки эти методы требуют дополнительного внимания.

Все приведенные до сих пор оценки характеристик относились к каналам без памяти, т.е. к каналам, в которых вероятность ошибки не зависит от времени. В случаях, когда нужно учитывать пакеты ошибок, возможные решения состоят в применении таких циклических кодов, какими являются коды Файра, или каких-либо кодера и декодера, предназначенных для исправления случайных ошибок (а не пакетов), вместе с парой устройств, состоящей из устройства перемежения и устройства восстановления после перемежения (рис. 3.20).

Рис. 3.20. Структура системы с перемежением

При таком подходе последовательность на выходе кодера подвергается перемежению до передачи по каналу и восстанавливается перед декодированием, так что на входе декодера ошибки распределяются более равномерно (не пакетируются).

Устройство перемежения переупорядочивает (переставляет) символы в последовательности некоторым детерминированным образом. С устройством перемежения связано устройство восстановления после перемежения, с помощью которого осуществляется обратная перестановка и восстанавливается исходный порядок символов. Существует много типов таких устройств. Два важных класса устройств перемежения – это периодические и псевдослучайные устройства перемежения.

Периодическим называют такое устройство перемежения, в котором перестановка является периодической функцией времени. Среди периодических устройств перемежения можно выделить два основных типа – блоковые устройства перемежения и сверточные устройства перемежения. На вход блоковых устройств перемежения символы поступают блоками, и устройство производит одну и ту же перестановку каждого блока символов. Сверточные устройства перемежения не имеют фиксированной блочной структуры, они осуществляют периодическую перестановку полубесконечной последовательности кодовых символов. Различие между устройствами перемежения этих двух типов очень похоже на различие между блоковыми и сверточными кодами.

Псевдослучайное устройство перемежения представляет собой блоковое устройство, которое берет блоки из определенного количества символов и переставляет из псевдослучайным образом. Это можно сделать, записав символы блока последовательно в ОЗУ устройства перемежения, а затем считав их псевдослучайным образом. Требуемую перестановку можно записать в ПЗУ, содержимое которого использовать для адресации ОЗУ устройства перемежения.

Такой метод обеспечивает высокую степень устойчивости при изменении параметров пакетов ошибок, однако его сложность превышает сложность блокового или сверточного устройства перемежения того же объема. Наиболее интересным является применение таких устройств для защиты от организованных помех.

Из анализа семейств характеристик p_б =f(E_б/N₀) построенных для различных кодов при различных длинах пакетов и их интенсивностях следует, что при малых длинах пакетов или их малой интенсивности применение перемежения не приносит ощутимых результатов. Так, для упомянутого ранее сверточного кода с R=1/2 и полной длиной кодового ограничения равной 6 использование перемежения не оправдано, если длины пакетов не превышают пяти. И наоборот, ухудшение характеристик, вызываемое случайными пакетами ошибок, показывает, что перемежение необходимо во всех случаях, кроме случая, когда длина пакета или их интенсивность очень мала.

Таким образом, применение корректирующих кодов позволяет повысить верность передачи, т.е. уменьшить вероятность ошибки, либо при заданной верности повысить энергетическую эффективность системы снижением отношения сигнал/шум за счет уменьшения уровня сигнала.

Многообразие кодов и методов декодирования делает почти невозможным составление полного каталога на все потенциально возможные случаи. Поэтому окончательное решение о целесообразности применения того или иного корректирующего кода с тем или иным методом декодирования можно принять лишь после сравнения показателей эффективности системы с кодированием и без него, с кодированием тем или иным классом кодов, с использованием того или иного метода декодирования.

Техническая эффективность системы передачи информации определяется количеством и качеством информации, переданной за некоторый промежуток или в единицу времени, т.е. скоростью передачи R (бит/с) и верностью передачи или вероятностью ошибки p. Для обеспечения требуемых R и p используется канал с полосой F и отношением сигнал/шум Q, которые являются основными ресурсами канала.

Целесообразно ввести коэффициенты эффективности, определяющие энергетическую  и частотную  эффективность системы передачи:

и . (3.36)

Эти коэффициенты имеют физический смысл удельных скоростей передачи, приходящихся на единицу отношения сигнал/шум и на единицу полосы пропускания канала соответственно.

В качестве обобщенного показателя технической эффективности системы передачи вводится коэффициент использования пропускной способности канала или информационная эффективность

, (3.37)

где С – пропускная способность канала.

С учетом формулы Шеннона (2.29) и выражений (3.36) и (3.37) можно выразить информационную эффективность через частотную и энергетическую

. (3.38)

Если принять эту функцию в качестве целевой, можно определить ее максимальное значение из следующих соображений. Согласно теореме Шеннона при соответствующих способах передачи (кодирования и модуляции) и приема (декодирования и демодуляции) значение  может быть сколь угодно близким к единице при сколь угодно малой ошибке. Положив _max=1, из (3.38) получим

. (3.39)

Если (3.39) представить в виде кривой на плоскости , то получим границу Шеннона (рис. 3.21). Полученная кривая является предельной и отражает наилучший обмен между  и . Следует заметить, что  -эффективность может изменяться в широких пределах: от 0 до  при
	Рис. 3.21. Граница Шеннона

аналоговой передаче и от 0 до 2logm при дискретной передаче, в то время как  -эффективность ограничена сверху, поскольку при 0 _max=1/ln2 (1,6 дБ). Для реальных систем ошибка всегда имеет место и <1.

В этом случае можно отдельно определить  и  и построить кривые при p=const, которые будут расположены ниже границы Шеннона. Ход этих кривых зависит от вида модуляции, типа и параметров используемого кода и способов обработки сигнала. Полученные таким образом -диаграммы позволяют выбрать системы, удовлетворяющие заданным требованиям, т.е. осуществить оптимизацию по коэффициентам  и . При этом можно осуществить оптимизацию по одной из частных стратегий:

1) максимизировать энергетическую эффективность  при допустимых изменениях <^!, где ^! - область допустимых изменений , и заданной ошибке p< p_доп;

2) максимизировать частотную эффективность  при допустимых изменениях < ^!, где  ^! - область допустимых изменений , и заданной ошибке p< p_доп .

Например, пусть заданы скорость передачи R, полоса частот канала F и отношение сигнал-шум Q. Тогда область возможных значений  и  можно разбить на четыре квадранта. Системы, расположенные в I квадранте, удовлетворяют требованиям по обоим показателям  >^* и  >  ^*. Системы, расположенные в квадранте II, удовлетворяют требованиям только по , а системы квадранта IV удовлетворяют требованиям только по  -эффективности. Системы квадранта III не удовлетворяют требованиям по обоим показателям.

Возможные системы передачи сообщений условно можно разделить на две группы: системы с высокой  -эффективностью, но малой  -эффективностью и, наоборот, системы с высокой  -эффективностью, но малой  -эффективностью. К первой группе относятся системы, в которых первостепенной значение имеют энергетические показатели, т.е., например, космические и спутниковые системы связи. Для них определяющей является первая стратегия, согласно которой необходимо обеспечить наилучшее использование мощности сигнала при заданной верности передачи. В системах проводной связи важнейшим показателем является  -эффективность. Оптимизация таких систем производится по второй стратегии, согласно которой необходимо добиться наилучшего использования полосы частот канала при заданной верности передачи. В ряде случаев требуется компромиссное решение, при котором одновременно достигаются заданные достаточно высокие значения  и  .

При использовании первой стратегии технический эффект удобно определять по энергетическому выигрышу _э при =_доп. Здесь - энергетическая эффективность выбранного варианта системы, а _э - энергетическая эффективность эталонной (базовой) системы. При использовании второй стратегии определяется выигрыш по удельной скорости или, в частности, выигрыш по занимаемой полосе частот: _э при _доп. Здесь  - энергетическая эффективность выбранного варианта системы, а _э - энергетическая эффективность эталонной (базовой) системы. Выигрыш в децибелах определяется по кривым как разность соответствующих координат. Базовый вариант необходим для того, чтобы оценить уровень совершенства выбранного варианта системы по сравнению с наиболее распространенными или наиболее совершенными из известных разработанных систем. Полезным может оказаться сравнение с идеальной системой, т.е. с границей Шеннона:  - _ш;  - _ш. В этом случае выигрыш будет отрицательным, т.е. проигрышем. По величине проигрыша можно судить насколько близка выбранная система к идеальной и насколько целесообразна разработка более совершенной системы.

Анализ кривых  - эффективности для блоковых кодов показывает, что короткие блоковые коды дают малый выигрыш по энергетической эффективности  при значительном проигрыше по удельной скорости . С увеличением длины кодовой комбинации выигрыш по  возрастает до некоторого оптимального значения , при которой  максимально. У кодов средней длины (n=31-127) оптимальной является скорость R_K = 0,3-0,5.

Рассматривая аналогичные кривые для циклических кодов, можно увидеть, что все они при изменении длины блока в диапазоне n=31 – 1023 располагаются под соответствующими кривыми для кодов, лежащих на границе Хэмминга, т.е. циклические коды обеспечивают несколько меньший энергетический выигрыш, однако его максимума они достигают при скоростях R_K=0,7 – 0,8. Таким образом, при использовании циклических кодов, например, с параметрами n=127 – 255 и R_K= 0,8 возможно получение энергетического выигрыша порядка 2-3 дБ.

Анализ кривых эффективности для сверточных кодов показывает, что с уменьшением удельной скорости  энергетическая эффективность  монотонно растет, хотя при 0,5 этот рост существенно замедляется. Например, для сверточных кодов с кодовым ограничением порядка 10 и использованием при декодировании алгоритма максимального правдоподобия энергетический выигрыш может достигать 6 дБ. Анализ кривых эффективности для каскадных систем кодирования позволяет сделать вывод о том, что наибольшей эффективностью обладают системы, у которых в качестве внутреннего кода используется сверточный код с декодированием Витерби. При р=10^-5 они обеспечивают энергетический выигрыш порядка 8 дБ.

После того как выбрана система по показателям  и  по формуле (3.38) определяется обобщенный показатель технического эффекта – информационная эффективность . После определения приемлемых вариантов системы по техническому эффекту , рассчитываются затраты W для этих вариантов. После этого можно осуществить технико-экономический анализ по принципу минимальных затрат.

При этом необходимо иметь в виду следующие обстоятельства:

1. При анализе систем по показателям  и W решение, обращающее в максимум или минимум один показатель, не обращает в максимум или минимум другой показатель. Лучшей считается такая система, которая обеспечивает максимум или минимум одного показателя при заданном втором показателе, например, максимум информационной эффективности  при заданных затратах W , или минимум затрат W при заданном значении информационной эффективности .

2. Высокая информационная  эффективность может быть достигнута различными путями: при большом значении  за счет уменьшения  или наоборот. При этом потребуется реализация совершенно разных систем. Диаграммы  и  четко указывают, какие системы необходимо выбирать в первом случае, а какие во втором. В обобщенном показателе информационной эффективности  это различие теряется. Поэтому технико-экономическому анализу по минимуму затрат W при допустимых значениях  должен обязательно предшествовать выбор приемлемых вариантов систем по показателям  и  .

Контрольные

вопросы к

лекции 17

17-1. Что называется суперканалом при использовании каскадного кодирования?

17-2. Что называется суперкодером при использовании каскадного кодирования?

17-3. Как определяется выигрыш от помехоустойчивого кодирования?

17-4. В чем состоит функция устройства перемежения?

17-5. Какие устройства перемежения называются периодическими?

17-6. Какие устройства перемежения называются псевдослучайными?

17-7. Как определяется коэффициент энергетической эффективности системы передачи информации?

17-8. Как определяется коэффициент частотной эффективности системы передачи информации?

17-9. Как определяется коэффициент информационной эффективности системы передачи информации?

17-10. Что называется границей Шеннона?

Учебное издание

Ланских Владимир Георгиевич

ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ

Подписано в печать хх.хх.12. Печать цифровая. Бумага для офисной техники.

Усл. печ. л. х,хх. Тираж хх экз. Заказ ххх.

«Вятский государственный университет» ПРИП ФГБОУ ВПО «ВятГУ» 610000, Киров, ул. Московская, 36 Тел.: (8332) 64-23-56, http://vyatsu.ru