1. Барометрична формула. Атмосфера планет.

2. Підіймальна сила.

Хаотичний молекулярний рух молекул приводить до того, що молекули газу рівномірно розподіляються по наданому об’єму V. З часом в об’ємі V встановлюється так звана термодинамічна рівновага, яка має такі характеристики:

1. Тиск р і температура Т – не змінюються з часом в об’ємі V.

2. Т, р, n (концентрація молекул) – однакові по всьому об’єму V.

3. Окремі частини і шари об’єму не рухаються один відносно одного.

Отже, якщо на систему не діють зовнішні сили і вона знаходиться в рівноважному стані, то концентрація мікрочасток буде однакова у всіх точках системи: n(x,y,z)=const. У випадку, коли на мікрочастки системи діє зовнішнє потенціальне силове поле, наприклад, гравітаційне, їхня концентрація стає різною в різних точках простору. При цьому стан термодинамічної рівноваги повинен зберігатися.

Розглянемо випадок знаходження ідеального газу в зовнішньому гравітаційному полі. Якби тепловий рух молекул був відсутній, то всі вони під дією сили тяжіння “впали” б на Землю, і все повітря зібралось би тонким шаром біля поверхні Землі. З іншого боку, якщо б сила тяжіння була відсутня, але існував би молекулярний рух, то молекули повітря розлетілися б по всьому світовому просторі. Таким чином, існування атмосфери Землі пояснюється присутністю одночасно і теплового руху молекул, і сили земного тяжіння. При цьому в атмосфері встановлюється певний розподіл молекул за висотою. Відповідно до цього встановлюється і певний закон зміни тиску газу з висотою. Знайдемо ці закономірності, коли сила тяжіння не змінюється з висотою.

При знаходженні концентрації молекул газу n(x,y,z) у зовнішньому полі припустимо, що будь-який нескінченно малий об'єм газу знаходиться в стані механічної рівноваги, а температура газу T у всіх точках однакова. Тільки при виконанні цих умов стан газу можна вважати рівноважним, тому що інакше в газі виникли б потоки речовини і теплоти, що зробило би стан газу нерівноважним.

Нехай гравітаційне поле однорідне, а вісь OZ спрямована вертикально вгору. Тоді концентрація молекул газу буде залежати тільки від координати z: n=n(z). На поверхні Землі, де z=0, тиск дорівнює р=р₀, а на висоті z тиск дорівнює р. На рис. 1 схематично зображений нескінченно малий виділений об'єм газу , що знаходиться в рівновазі. Знизу на цей виділений об’єм газу діє тиск р, а зверху - відповідно тиск р+dр. Умова механічної рівноваги для об’єму газу запишеться у вигляді:

(1)

або

(2)

тобто dp дорівнює вазі стовпчика повітря висотою dz з площею основи в одну одиницю.

Г устина газу дорівнює добутку маси m однієї молекули на їх число n в одиничному об’ємі:

Згідно молекулярно-кінетичної теорії:

(3)

Звідси:

(4)

Підставив в формулу (2) вираз для густини газу (4) отримаємо рівняння:

(5)

яке можна записати у вигляді:

(6)

Якщо вважати, що температура однакова по всім висотам (що, взагалі-то, невірно), то, інтегруючи вираз (6), отримаємо:

,

де С – стала інтегрування. Звідси:

(7)

Cтала С визначається із умови, що при z = 0 тиск p = p0. Підставляючи в рівняння (7) ці значення p і z, отримаємо:

p0 = C

Таким чином, залежність тиску повітря від висоти над поверхнею Землі має вигляд:

(8)

Або, враховуючи, що m = /NA (де  – молярна маса, NA – число Авогадро), можна записати, що:

(9)

Закон (8) або (9), що виражає залежність атмосферного тиску від висоти над поверхнею Землі, називають барометричною формулою (при умові, що прискорення вільного падіння g та температура атмосфери Т не залежать від висоти).

Проаналізуємо формули (8) і (9). Зрозуміло, що зі збільшенням висоти z, тиск зменшується за експоненціальним законом (рис. 2, а). При фіксованих значеннях висоти (z = h) значення тиску тим більше, чим вища температура повітря (рис. 2, б).

При цьому p0 не залежить від температури повітря. Це пояснюється тим, що вага всього стовпчика повітря, яка діє на одиницю площі і визначає p0, однакова при різних температурах. Тобто .

Р исунок 2 - Залежність атмосферного тиску від висоти: р0 – тиск на поверхні Землі

Тоді, згідно співвідношення отримаємо різну концентрацію молекул біля поверхні Землі при різних температурах:

;

І якщо T2 > T1, то n₀(T₁) > n₀(T₂). Це можна зобразити графічно (рис. 3).

Рисунок 3

Тобто при високих температурах концентрація молекул повітря біля поверхні Землі нижча, чим при низьких температурах. Для більш високих температур розподіл за висотою стає більш рівномірним.

Пригадаємо, що закон (8) або (9) був виведений при умові, що сила тяжіння не змінюється з висотою (g = const), а температура однакова для всієї атмосфери. Перше припущення справедливе лише тоді, коли z<<R3 (R3 – радіус Землі). В загальному ж випадку прискорення вільного падіння і сила тяжіння зменшуються при віддаленні від поверхні Землі. Тобто, якщо вважати, що r = R0 + z, отримаємо:

(10)

де M3 – маса Землі,  – гравітаційна стала, що дорівнює .

З урахуванням (10), спираючись на попередні дослідження, можемо записати:

(11)

Після інтегрування отримаємо:

(12)

Визначимо звідси p:

(13)

Знайдемо С з умови, що при z =0 тиск p =p₀. Оскільки:

,

то

(14)

Таким чином:

Спростимо останній вираз:

де g0 – прискорення вільного падіння біля поверхні Землі.

Таким чином, ми отримали барометричну формулу для загального випадку, коли g залежить від висоти:

(15)

Маючи на увазі рівняння , отримаємо залежність концентрації молекул повітря від висоти над поверхнею Землі:

- для випадку, коли g не залежить від висоти

(16)

- для загального випадку

(17)

Згідно (15) і (17), ми приходимо до парадоксального висновку, що при (R0 +z)   концентрація молекул газу (і його тиск) прямують не до нуля, а до цілком певної величини, тобто:

(18)

(19)

І накше кажучи, атмосфера Землі (або іншої планети, наприклад, Марса чи Венери) повинна бути розсіяна по всьому нескінченному просторі. Але такий висновок ми можемо зробити лише при умові, що атмосфера Землі знаходиться в стані теплової рівноваги (тобто T=const по всьому об’єму атмосфери). Насправді це не так. Атмосфера Землі не розсіяна по всьому світовому просторі, і тому немає сенсу говорити те, що вона знаходиться в стані теплової рівноваги. Але невід’ємною властивістю планет є те, що рано чи пізно вони переходять в цей стан, і їх атмосфера розсіюється (в цей стан перейшов Місяць). На Марсі атмосфера дуже розріджена і близька до стану теплової рівноваги. На Венері, атмосфера, навпаки, має високу густину, тобто знаходиться лише на початку шляху до теплової рівноваги. Час, необхідний планетам для втрати їх атмосфери, залежить від їхньої маси, радіусу, температури, складу атмосфери та інших факторів.