Задача 3.9

Богатство г-на К, составляющее W₀ = 5000 у.е., планируется для финансирования потребления в двух последовательных периодах времени t и t+1. Для увеличения потребления в t+1-ом периоде г-н К инвестирует часть богатства s_t в портфель активов, доходность которого имеет следующее распределение вероятностей:

Вероятность p	0,25	0,5	0,25
Доходность r

Г-ну К предлагают вложить небольшую по сравнению с его богатством сумму в рискованный финансовый актив А, имеющий, по ожиданиям,

• стандартное отклонение доходности _A = 40%;

• корреляцию доходности с доходностью портфеля _Ap = 0,8;

• ожидаемую стоимость к началу t+1-го периода, равную <x_{t +1}> = 100 у.е.

Функция полезности потребителя К является степенной (модель (4)) с показателем степени =⅓, показатель его «нетерпения» составляет  = 0,95.

1. Определите текущую оценку актива А (его «справедливую» цену и ожидаемую доходность) с точки зрения потребителя К в таких условиях.

Проведите расчеты для случая, когда ожидаемая доходность портфеля = 12% , а возможное отклонение его доходности  = 30%.

Каков -коэффициент актива А?

2. Исследуйте зависимости оценивания актива А потребителем (его ожидаемой доходности) от стандартного отклонения _A при различных значениях корреляции доходности актива с доходностью портфеля _Ap : а). _Ap =1; б)._Ap = 0,7; в). _Ap =0,4; г). _Ap =0,1. Постройте графики этих зависимостей.

Глава 4. Выбор портфеля Краткие сведения из теории.

• Решение проблемы выбора оптимального инвестиционного портфеля подразумевает такое рассредоточение сбережений в начальный момент времени (общая величина инвестируемого капитала составляет W₀) между различными активами, при котором достигается максимальная с точки зрения индивидуального инвестора ожидаемая полезность будущего потребления (связываемого во многих случаях с его будущим «богатством» W, которое в условиях риска инвестиций является случайной величиной) .

• Г.Марковицем [12] был предложен приближенный подход, значительно упрощающий решение задачи выбора портфеля. Следуя этому подходу, функцию ожидаемой полезности при ряде дополнительных ограничений путем разложения в ряд представляют в виде [12,14]

, (16)

где и _p – соответственно ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности портфеля,  – толерантность инвестора к риску [10].

В таком случае выбор оптимального портфеля может производиться по двум критериям, связанным с простейшими статистическими характеристиками его доходности: ее ожидаемым значением и дисперсией. Индивидуальные предпочтения инвестора (в общем случае описываемые функцией полезности) в рамках подхода Марковица отражаются показателем его толерантности к риску  (см. «Краткие сведения из теории» к главе 3).

Ожидаемая доходность и дисперсия доходности _p² при комбинировании активов в портфель могут быть рассчитаны алгебраически через параметры активов – компонент портфеля [8,9,10]:

(17)

(18)

здесь x_i – стоимостная доля i-го актива в портфеле, и _i – его ожидаемая доходность и стандартное отклонение, _ij – корреляция доходностей i-го и j-го активов.

Очевидно, расчет ожидаемой доходности и ее дисперсии для портфеля значительно проще, чем расчет ожидаемой полезности диверсифицированного между различными активами богатства в общем виде (см. «Краткие сведения из теории» к главе 1).