3.3. Анализ математической модели

После реализации полного факторного эксперимента и получения уравнения регрессии проводят его анализ аналитическим или графическим способом.

Аналитический способ заключается в рассмотрении знаков пе­ред, коэффициентами в уравнениях и их абсолютных величин.

Знаки перед коэффициентами указывает направление влияния соответствующих факторов на функцию отклика (у). Абсолютное значение коэффициентов дает представление о влиянии функции отклика соответствующего фактора в пределах его варьирований. Если влия­ние какого-либо фактора зависит от величины другого фактора, то между этими факторами существует взаимодействие. Знак (+) перед коэффициентом взаимодействия свидетельствует с том, что увеличе­ние параметра функции отклика возможно, если взаимодействующие факторы находятся одновременно не верхнем или никнем уровне, а знак (-) - о том, что фактор находится на верхнем, а другой на нижнем уровне. .

Графический способ дает возможность визуально изучать по­верхность отклика. Однако дли этого удобно представить поверхность отклика в виде гипербол на сечениях-факторных плоскостях, т.е. номограммах (см. рис. 2.2). Для этого поверхность отклика рассекают факторными плоскостями, на которых получают графичес­кое изображение линий равных значений (изолинии) отклика в виде гипербол. Построение гипербол на графиках (номограммах) произво­дят вручную или с помощью ЭВМ, просчитывая уравнение регрессии интерполяционным методом. В виду наглядности графиков анализ зависимостей и их описание упрощается.

4. Пример использования метода полного факторного эксперимента при изучении свойств упрочненного материала

В настоящее время в различных технологических процессах, в частности, для локального поверхностного упрочнения материалов применяется низкотемпературная плазма.

Для плазменной струи характерны существенные технологические преимущества. Изменяя степень ее обжатия, состав и расход плазмообразующего газа, можно регулировать в широких пределах температуру и концентрацию теплового потока, направляемого на обрабатываемую поверхность. Достоинства этого метода - высокая гибкость, независимость от механической прочности обрабатываемых материалов, экономичность, возможность эффективной механизации и автоматизации технологических процессов [1].

Одной из задач, решение которой требуется для оптимизации процессов плазменной технологии, подбор наиболее благоприятных соотношений многочисленных факторов, влияющих на конечный результат. Планомерное исследование влияния каждого отдельного фактора к неоправданно большим потерям времени.

Для определения регрессионной зависимости прочностных характеристик обрабатываемых материалов от условий технологическо­го процесса была поставлена следующая задача:

1. Задание: Изучить влияние на поверхности термоупрочнение материала основных факторов (состава), используя метод полного факторного эксперимента.

2. Исходные данные, общие условия и методика эксперимента. Анализ литературных данных позволил определить следующее:

- наиболее универсальной количественной характеристикой прочностных свойств материалов может быть - поверхностная твердость.

- факторами в наибольшей степени, влияющими на твердость, являются ток дуги плазматрона, расстояние от плазматрона до обрабатываемой поверхности, время обработки.

Отсюда, в исследованиях в качестве основного изучаемого параметра (функции отклика) был принят поверхностная твердость.

Для изучения были приняты следующие факторы:

Ток дуги плазматрона – х₁, А;

Расстояние от плазматрона до обрабатываемой поверхности –х₂, см;

Время обработки - х₃, мин.

Исходные материалы, принятые в исследованиях:

а) цилиндрические образцы из сталей 40Х, 45, У8.

После проведения предварительных опытов были определены ус­ловия эксперимента: к реализации принят полный трехфакторный эксперимент (ПФЭ-2³). Основные характеристики и условия проведения его приведены в табл. 4.1- 4.2.

Таблица 4.1.

Основные характеристики ПФЭ

Характеристики	Факторы
	х1, А	х2, см	х3, мин
Основной уровень	7,0	2,5	0,5
Интервал варьирования	4,0	1,5	0,1
Верхний уровень +1	11,0	4,0	0,6
Нижний уровень -1	3,0	1,0	0,4

Таблица 4.2

Матрица планирования, условия опытов и результатов

№ серии опытов	Значения факторов										Результаты
	натуральные			кодированные			взаимодействия
	х1	х2	х3	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2 х3
1	3,0	1,0	0,4	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	94,0	5,0	94,6
2	11,0	1,0	0,4	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	118,2	12,7	118,5
3	3,0	4,0	0,4	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	106,7	2,3	107,7
4	11,0	4,0	0,4	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	149,1	9,4	148,1
5	3,0	1,0	0,6	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	73,2	0,9	73,8
6	11,0	1,0	0,6	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	97,6	2,3	97,3
7	3,0	4,0	0,6	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	78,4	0,4	77,4
8	11,0	4,0	0,6	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	116,8	1,5	117,4
9	7,0	2,5	0,5	0	0	0	0	0	0	0	108,4	2,9	104,4

Примечание:

х_i - натуральное значение переменных;

x_i - кодированные значения переменных;

- средние значения функции отклика;

- расчётные значения функции отклика;

- сумма квадратов отклонений от средних значений или оценка дисперсии.

Методика проведения опытов принята следующая.

Методика приготовлений образцов:

Перед началом технологического процесса термоупрочнения низкотемпературной плазмой производится подготовка упрочняемой поверхности.

Эта операция включает в себя:

1) удаление окисных пленок и активация; поверхности путем металлопескоструйной обработки металлическим песком, стальной крошкой, карбидом кремния или колотой чугунной дробью с острыми гранями. Обработка производится в специальных плотно закрывающихся шкафах или камерах, снабжённых вытяжной вентиляцией. Расстояние от сопла должно быть 80-100 мм, расход сжатого воздуха колеблется от 1 до 6,5 м³/мин и давлении в магистрали 5-7 атм.

Активация считается законченной если поверхность детали приняла однородней матовый оттенок.

2) очистку поверхности от механических загрязнений и жиров калиной или ручней промывкой растворителями и обдувкой сжатым воздухом.

Для того, чтобы получить математическое описание вляния выбранных факторов на поверхностную твёрдость материала, опыты проводили по плану, приведённому в табл. 4.2. В результате было выполнено 8 серий опытов и один дополнительный «0» при трёх повторениях. Опыты рандомизировали во времени. Предварительная оценка показала хорошую воспроизводимость опытов 5% уровня значимости.

Статистическая обработка результатов.

Обработку данных опытных проводили в следующей последовательности:

1. Определяли среднее значение функции отклика по формуле:

(j = 1, 2, 3) (4.1)

Результаты в таблице 4.2.

2. Вычислили оценку дисперсии для каждой серии параллельных опытов:

(4.2)

Результаты в таблице 4.2.

Для проверки воспроизводимости опытов рассчитывали критерием Кохрена

(4.3)

Из таблицы (Приложение 1) находим G_Т для доверительной вероятности Р = 0,95 и

Так как G_Э< G_Т, то гипотеза о воспроизводимости принимается.

4. Оценку дисперсии эксперимента или ошибку эксперимента находим по формулам:

(4.4)

5. Вычисляли коэффициенты уравнений регрессии

(4.5)

(4.6)

(4.7)

6. Определяли оценку дисперсии в вычислении каждого коэффициента. В виду ортогональности ПФЭ она одинакова для всех коэф­фициентов и равна:

(4.8)

7. Проводили проверку значимости коэффициентов b. Из таблицы (Приложение 3) находили значение критерия Стьюдента (t) при уровне значимости =0,05 и степенях свободы

(4.9)

Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если вы­полняется условие:

(4.10)

Таким образом, значимым признается все коэффициенты, кроме b₁₃, b₁₂₃.В результате уравнение регрессии принимает вид:

(4.11)

8. Осуществляли проверку гипотезы об адекватности уравнения регрессии (4.11) описываемому процессу. Для этого вычисляли сначала дисперсию неадекватности (см.табл. 4.3).

(4.12)

где N - число опытов ПФЭ;

k - число значимых коэффициентов со свободным членом.

Для определения дисперсии неадекватности рассчитывали разность между экспериментальным и расчётным значениями функции отклика, а затем – квадрат их разности.

Промежуточные результаты вычислений приведены в таблице 4.3.

Таблица 4.3.

Результаты предварительных вычислений для определения дисперсии неадекватности

№
1	94,9	85,73-16,06-8,39+12,86+4,14-2,29=94,62	0,28	0,08
2	118,2	85,73+16,06-8,39+12,86-4,14-2,29=118,46	-0,26	0,07
3	106,7	85,73-16,06-8,39+12,86-4,14+2,29=107,70	-1	1,0
4	149,1	85,73+16,06+8,39+12,86+4,14+2,29=148,1	+1	1,0
5	73,2	85,73-16,06-8,39-12,86+4,14+2,29=73,48	-0,28	0,08
6	97,6	85,73+16,06-8,39-12,86-4,14+2,29=97,32	0,28	0,08
7	78,4	85,73-16,06+8,39-12,86-4,14-2,29=77,40	+1	1
8	116,8	85,73+16,06+8,39-12,86+4,14-,29=117,80	-1	1

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

(4.13)

где

(4.14)

Значения критерия Фишера F_Т находили из таблицы (приложение 4), зная число степеней свободы для числителя и знаменателя

т.е. F_э < F_Т = 3,6; следовательно, уравне­ние (4.11) адекватно исследуемому процессу.

9. Осуществляли проверку точности математической модели. Считается, что если величина больше ошибки эксперимента, ли­нейное приближение нельзя считать достаточным поскольку стано­вится существенным влияние на процесс квадратичных членов,

Это требует проверки. Дополнительные опыты обычно реализуют, в так называемой «нулевой точкой», т.е. в точке с координа­тами х₁ = х₂ + х₃ = 0, что соответствует нулевому уровню в матрице, планирования (таблица 4.2).

Реализация трех серий опытов в «0» в точке дала следующие результаты у₁ =107,9; у₂ =104,35; у₃ =111,2.

Статистические характеристики выборки следующие:

(4.15)

(4.16)

(4.17)

Сравниваем разность значений с ошибкой в определении средней величины по t - критерию Стьюдента:

(4.18)

При , находим из таблицы (приложение 2) .

т.е. < .

Поскольку различив между табличными и расчетными значениями свободного члена уравнения (4.11) статистически незначимо, считаем, что влияние на изучаемый процесс квадратичных членов несущественно, а точность первоначально принятого линейного прибли­жении достаточна.

10. Для практического использования уравнения регрессии обычно переходят от кодированных переменных к натуральным, используя формулы (3.1). В результате уравнение регрессии принимает вид:

(4.19)