4.3. Производная тензорной функции

Для определения производной функции (сначала скалярозначной) тензорного аргумента сначала сведем последнюю к функции нескольких скалярных переменных

(4.3.1)

путем отнесения тензора-аргумента к произвольному ортобазису. Разлагаем (4.3.1) в степенной ряд

(4.3.2)

где обозначает члены более высокого порядка малости относительно . Выражение (4.3.2) можно кратко записать в более привычном виде

, (4.3.3)

где , ,

а тензор второго ранга

(4.3.4)

и есть производная функции по . Для ее нахождения согласно (4.3.4) необходимо отыскать частные производные по всем компонентам и свернуть их с исходным базисом.

Разложение (4.3.3) в пределе принимает вид

. (4.3.5)

Это выражение можно использовать для бескомпонентного нахождения производной тензорной функции. Для этого в выражении дифференциала функции необходимо выделить .

Пусть, например, . Тогда и . Другим способом: и .

При компонентном нахождении производной возникает задача записи результата в бескомпонентном виде (ведь исходная функция дается именно в таком виде).

Бескомпонентным способом удобнее находить производную, если доказать правила дифференцирования

, ,

, ,

( и — функции ), что предлагается сделать читателю.

Читателю предлагается также доказать

и найти производные по следующих функций:

.

Аналогичным способом можно вывести выражение для производной тензорзначной функции тензорного аргумента:

(4.3.6)

(которая есть тензор IV ранга) или в бескомпонентном виде

. (4.3.7)

С помощью данных определений можно доказать правила для бескомпонентного нахождения производной тензорзначных функций

,

.

Найдите производные следующих тензорзначных функций :

, , , , .

Найдите также вторую производную второго и третьего инвариантов.