4.2. Симметрия тензоров и тензорных функций

1. Пусть T — какой-либо фиксированный тензор второго ранга, а — такое подмножество ортогональных тензоров, что

, (4.2.1)

т.е. данный тензор T не изменяется. Покажем, что есть группа, используя теорему о подгруппе. Из следует , т.е. что . Далее, обратный тензор к , , осуществляет преобразование . Но из следует и затем , т.е. данное преобразование также принадлежит . Эта группа называется группой симметрии тензора T.

Рис. 4.3. Конструкция, имеющая группу симметрии симметричного тензора с простым спектром

Геометрический смысл группы симметрии тензора может иллюстрировать частный пример, изображенный на рис. 4.3 и соответствующий симметричному тензору с простым спектром. Группу симметрии данного тензора составляют повороты вокруг любой из осей 1,2,3 на углы  , отражения относительно любой из плоскостей 12,23,31 , инверсия –I и тождественное преобразование I (всего 8 различных элементов). Для осесимметричного тензора (с ₁ = ₂) группа симметрии включает в качестве подгруппы бесконечную (непрерывную) группу всех вращений вокруг главного направления, соответствующего ₃. Наконец, для шарового тензора (₁ = ₂ = ₃) .

Два тензора с действительным спектром соосны тогда и только тогда, когда их группы симметрии совпадают. Докажите это утверждение самостоятельно.

По данному выше образцу можно дать определение группы симметрии тензора произвольного ранга.

Самостоятельно найдите группы симметрии полярных вектора , диад и ( ), тензора .

2. Тензор называется изотропным, если

, (4.2.2)

и демитропным, если

. (4.2.3)

Пусть p — нечетное натуральное число. Тогда, полагая O = –I, получаем , и потому (4.2.2) для ненулевого выполняться не может. Таким образом, изотропных тензоров нечетного ранга не существует. Тензор ранга p=1 не может быть и демитропным, что элементарно проверяется. Для p=3 необходимому свойству демитропности удовлетворяет тензор Леви-Чивита, ибо из (2.3.4) следует равенство , эквивалентное (4.2.3) для . Таким образом, множество демитропных тензоров из исчерпывается подпространством антисимметричных тензоров, представимых в виде (2.3.13)

, .

Пусть теперь p — четное число. При p=2 равенство означает, что каждая главная ось преобразуется в его главную ось; если , то — такой тензор, главные оси которого при любом ортогональном преобразовании преобразуются в главные же его оси. Это возможно только тогда, когда для каждое направление в является главным, то есть когда — шаровой тензор

, .

При произвольном четном p линейно независимые изотропные тензоры могут быть получены перестановкой базисных векторов в записи

. ,

Пусть p=4, тогда имеем три таких тензора:

(4.2.4)

а общий вид изотропного тензора из представляется их линейной комбинацией

. (4.2.5)

Тензоры имеют свойства (T — любой тензор второго ранга)

(4.2.6)

С помощью (4.2.6) можно построить ортогональные проекторы, выделяющие из тензора второго ранга его симметричную и антисимметричную части:

(4.2.7)

а также девиаторную и шаровую части:

Тензор

выступает в качестве единицы пространства полусимметричных тензоров четвертого ранга

В случае произвольного четного p количество базисных изотропных тензоров равно . Для p=6 имеются 15 изотропных тензоров и т.д.

3. Примеры функций тензорного аргумента нам уже встречались: степень тензора, след тензора, его собственное число и т.д. Мы изучим здесь симметрию функций двух видов: отображающую в R и отображающую в себя.

Для скалярозначной функции F определено множество , состоящее из таких элементов , которые она не чувствует:

= T . (4.2.8)

Это множество представляет собой группу, называемую группой симметрии функции. Доказательство предоставляется читателю. Для тензорзначной функции F группа симметрии содержит такие , что

= T . (4.2.9)

Для тензорзначных функций имеется связь групп симметрии тензора-аргумента функции , тензора-значения функции и самой функции :

. (4.2.10)

Действительно, когда , справедливо соотношение (4.2.9), когда , — соотношение, , так что, когда справедливы оба эти соотношения, , то есть, , что и влечет вложение (4.2.10).

Тензорная функция называется изотропной, если . Для нее из (4.2.10) следует

, (4.2.11)

откуда, в свою очередь вытекает, что характеристические пространства тензора-аргумента являются вложенными в характеристические пространства тензора-значения функции. Этот факт предлагается доказать самостоятельно.

Если функция обратима, то нетрудно показать, что в (4.2.10) достигается равенство. Если она еще и изотропна, то

,

то есть группы симметрии аргумента такой функции и ее значения совпадают и, согласно сказанному выше, для любого аргумента последний и значение функции есть соосные тензоры.

Найдите группы симметрии следующих функций тензора : , , , .

4. В качестве примера построим изотропную функцию зависимости одного симметричного девиатора от другого. Согласно (3.3.15) и (3.3.18) для тензора-аргумента имеем

(4.2.12)

а из (4.2.11) следует, что и тензор-значение представимо спектральным разложением по базисным элементам тензора :

. (4.2.13)

Разрешая (4.2.12) относительно и подставляя результат в (4.2.13), получаем

. (4.2.14)

Упомянутое разрешение нельзя выполнить при . В этих случаях из (3.3.13) следует, что тензор-аргумент осесимметричен и из (4.2.12) также осесимметричен (с теми же характеристическими пространствами), ибо девиатор шаровым быть не может. Поэтому мы можем сразу написать

. (4.2.15)

В (4.2.14) содержится частный случай , когда также получается представление (4.2.15), означающее пропорциональность тензоров — аргумента и значения функции.

Полученное представление сводит задачу построения функции, связывающей два симметричных девиатора (эквивалентной пяти скалярным функциям для независимых компонент тензора-значения, каждая из которых зависит от пяти независимых компонент тензора-аргумента), к построению двух скалярных функций и .