3. Основные свойства вещественных чисел.

1. Сложение и умножение вещественных чисел

Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b и а·b, называемые их суммой и произведением, обладающими следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

1. a+b=b+a (переместительное свойство) — коммутативность сложения.

2. a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательное свойство) — ассоциативность сложения.

3. a·b=b·a (переместительное свойство) — коммутативность умножения.

4. a·(b·c)=(a·b)·c (сочетательное свойство) — ассоциативность умножения.

5. (a+b)·c=a·c+b·c (распределительное свойство) — дистрибутивность умножения относительно сложения.

6. Существует единственное число 0 такое, что a+0=a для любого числа а.

7. Для любого числа а существует такое число -а, что а+(-а)=0.

8. Существует единственное число 10 такое, что для любого числа а имеет место а·1=а.

9. Для любого числа а0 существует такое число a^-1, что а·a^-1=1.

Замечание: Числа -а и а^-1 (противоположное и обратное) единственны.

2. Сравнение вещественных чисел.

Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше).

Отношение = обладает транзитивным свойством: если а=b и b=с, то а=с.

Отношение > обладает следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

10. Если а>b и b>с, то а>с.

11. Если а>b, то а+с>b+с.

12. Если а>0 и b>0, то а·b>0.

Вместо а>b пишут также b<a (меньше).

Запись аb (или, что то же, bа) обозначает, что либо а=b, либо a>b.

Определение 4: Соотношения а<b, аb, a>b, ab называются неравенствами.

Определение 5: Неравенства а<b, a>b называются строгими неравенствами. Неравенства аb, ab называются нестрогими неравенствами.

Определение 6: Число а, удовлетворяющее неравенству а>0, называется положительным, неравенству а<0,— отрицательным, неравенству а≥0,— неотрицательным, неравенству а≤0,— неположительным.

3. Непрерывность вещественных чисел.

13. Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хХ и yY выполняется неравенство ху, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства

хсу.

Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел.

Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещественных чисел.

Определение 7: Вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.

3. Виды числовых множеств. Окрестность точки.

Пусть а и b — два числа, причём а<b. Будем использовать следующие обозначения:

Конечные числовые промежутки
	{x| axb}=[a; b]	замкнутый промежуток (интервал)	отрезок	сегмент
	{x| a<xb}=(a; b]	полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал)	полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок	полусегмент
	{x| ax<b}=[a; b)	полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал)	полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок	полусегмент
	{x| a<x<b}=(a; b)	открытый промежуток (интервал)
Бесконечные числовые промежутки
	{x| ax}=[a; +)	полуинтервал	закрытый луч	полупрямая
	{x| a<x}=(a; +)	интервал	открытый луч	полупрямая
	{x| xb}=(-; b]	полуинтервал	закрытый луч	полупрямая
	{x| x<b}=(-; b)	интервал	открытый луч	полупрямая
	{x| -<x<+}=(-; +)	множество всех вещественных чисел	числовая прямая	прямая

Все эти множества называются промежутками (интервалами).

Определение 1: Промежутки [a; b], (a; b], [a; b) и (a; b) называются конечными; а и b — их концы.

Остальные промежутки называются бесконечными.

Открытый интервал (a; b) отличается от отрезка [a; b] тем, что ему не принадлежат концы и интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как в отрезке [а, b] такими числами являются соответственно b и а.

Пусть х₀ — любое действительное число.

Определение 2: Окрестностью точки х₀ называется любой интервал (a; b), содержащий точку х₀. В частности, интервал (х₀-; х₀+), где >0 называется -окрестностью точки х₀. Число х₀ называется центром, а число  — радиусом.

Если х(х₀-; х₀+), то выполняется неравенство х₀-<х<х₀+, или, что то же, |х-х₀|<.

Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х₀ в -окрестностью точки х₀.

Проколотой окрестностью точки х₀ называется такая окрестность точки х₀, из которой удалена сама точка х₀.