Лабораторна робота №8 Метод скінченних елементів в крайових задач для лінійних параболічних рівнянь

Для прикладу розглянемо першу мішану крайову задачу для рівняння теплопровідності

(Л8.1)

(Л8.2)

(Л8.3)

де ; , , , – задані функції.

Відшукання узагальненого розв’язку крайової задачі (Л8.1)‑(Л8.3) зводиться до розв’язання наступної задачі:

(Л8.4)

(Л8.5)

Тут .

Знову ж, аналогічно лабораторній роботі №4, розіб’ємо відрізок на елементарних відрізків , та розглянемо систему кусково-лінійних базисних функцій . Наближений узагальнений розв’язок задачі (Л8.1)-(Л8.3) будемо шукати у вигляді

(Л8.6)

Де ‑ шукані невідомі коефіцієнти, які залежать лише від часу.

Підставляючи (Л8.6) в (Л8.4), (Л8.5) і покладаючи функцію почергово рівною кожній базисній функції , отримуємо задачу Коші для системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь для відшукання

(Л8.7)

(Л8.8)

Тут:

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Знайти точний розв’язок задачі Коші (Л8.7), (Л8.8) дуже складно. Тому використовують наближені методи. Розіб’ємо часовий відрізок на рівних частин з кроком Для дискретизації системи звичайних диференціальних рівнянь (Л8.7) використаємо схему з вагами

, , (Л8.9)

де ‑ деяке число. Доведено, що схема (Л8.9) при є абсолютно стійкою. При маємо повністю неявну різницеву схему, ‑ схему Гальоркіна, ‑ схему Кранка-Ніколсона.

Відмітимо наступні аспекти практичної реалізації:

1. На практиці для знаходження СЛАР (Л8.8) як правило не розв’язують, а використовують безпосередньо початкову умову (Л8.2)

2. Після формування СЛАР (Л8.9) потрібно врахувати головні граничні умови (Л8.3). Тому в першому та останньому рядках отриманої СЛАР всі елементи покладають рівними нулю і лише діагональні – одиницям. А вільні члени відповідно , .

Завдання. Знайти наближений розв’язок першої мішаної крайової задачі для рівняння теплопровідності

Порівняти наближений розв’язок з точним в точці .

№			Точний розв’язок
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25