Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства та природокористування

Кафедра прикладної математики

100 –99

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторних робіт з дисципліни

“чисельний метод скінченних елементів»

для студентів спеціальності "Прикладна математика" (6.040301)

Рекомендовано до видання методичною комісією з напрямку 0403 „Прикладна математика”

Протокол №1 від 07 вересня 2010 року

Рівне - 2010

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни “Чисельний метод скінченних елементів” для студентів спеціальності "Прикладна математика" (6.040301) / П.М.Мартинюк. ‑ Рівне: НУВГП, 2010, – 47 с.

Укладач: П.М.Мартинюк, к.ф.-м.н., доцент кафедри прикладної математики

Відповідальний за випуск: А.П.Власюк, д. т. н., професор, завідувач кафедри прикладної математики

З М І С Т

1.	Інтеграли від кусково-лінійних базисних функцій методу скінченних елементів в одновимірному випадку	3
2.	Інтеграли від кусково-квадратичних базисних функцій методу скінченних елементів в одновимірному випадку	6
3.	Чисельне обчислення інтегралів в одновимірному випадку з використанням ізопараметричних координат	9
4.	Метод скінчених елементів в одновимірному випадку: лінійні базисні функції	13
5.	Чисельне обчислення інтегралів у випадку трикутних скінченних елементів з використанням ізопараметричних координат	22
6.	Тріангуляція однозв’язної опуклої області	29
7.	Метод скінченних елементів в крайових задачах для рівнянь еліптичного типу	35
8	Метод скінченних елементів в крайових задачах для лінійних параболічних рівнянь	41
	Література	46

© П.М.Мартинюк 2010

© Національний університет водного господарства та природокористування, 2010

Лабораторна робота №1 Інтеграли від кусково-лінійних базисних функцій методу скінченних елементів в одновимірному випадку

Нехай відрізок розбитий на скінченних елементів , , причому , , . Тоді кусково-лінійні базисні функції методу скінченних елементів визначаються наступним чином:

; (Л1.1)

Також інколи використовують відображення батьківського скінченного елемента в системі ізопараметричних координат на скінченний елемент в системі координат . Для цього розглянемо скінченний елемент в системі координат , де , . Тоді , . Тоді відображення скінченного елемента на скінченний елемент задається співвідношенням

або

. (Л1.2)

Звідси

. (Л1.3)

Таке відображення використовується для відшукання інтегралів від кусково-лінійних базисних функцій МСЕ. Взагалі кажучи, відображення в яких скінченні елементи містять однакову кількість вузлів і для яких використовуються самі базисні функції МСЕ називаються ізопараметричними.

Приклад. Л1.1. Знайти інтеграл

.

Розв’язання.

Спосіб 1. Використаємо (Л1.1). Маємо

Спосіб 2. Використаємо залежності (Л1.2), (Л1.3).

Завдання. Обчислити інтеграли від базисних функцій.

1.	;	10.	;
2.	;	11.	;
Вказівка. Використати залежність , ;
3.	;	12.	;
4.	;	13.	;
5.	;	14.	;
6.	;	15.	;
7.	;	16.	;
8.	;	17.	.
9.	;	Вказівка. В завданнях 13‑17 змінні та належать множині натуральних чисел

Лабораторна робота №2 Інтеграли від кусково-квадратичних базисних функцій методу скінченних елементів в одновимірному випадку

Нехай відрізок розбитий на скінченних елементів , , причому , , . На кожному скінченному елементі визначимо ще внутрішній вузол наступним чином . Тоді кусково-квадратичні базисні функції МСЕ визначаються наступним чином (через кусково-лінійні):

, ;

, .

Далі, аналогічно до прикладу Л1.1, для відшукання інтегралів від вказаних функцій можна застосувати безпосереднє інтегрування, або використати ізопараметричні координати.

Приклад. Л2.1. Знайти інтеграл

.

Розв’язання.

Спосіб 1.

Спосіб 2.

Завдання. Обчислити інтеграли від базисних функцій, використовуючи результати лабораторної роботи №1.

1.	;	10.	;
2.	;	11.	;
3.	;	12.	;
4.	;	13.	.
5.	;	Додаткові завдання
6.	;	14.	;
7.	;	15.	;
8.	;	16.	.
9.	;