Контрольная работа по теме "Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона"
Задание № 1.
Для функции, заданной таблично:
1. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа.
2. Построить таблицу конечных разностей.
3. Составить интерполяционный многочлен Ньютона.
Таблицы узлов интерполяции
(Вариант №1)
X |
0 |
3 |
4 |
5 |
Y |
-1 |
0 |
8 |
5 |
(Вариант №2)
X |
-3 |
-2,5 |
0 |
1 |
Y |
5 |
1 |
6 |
7 |
(Вариант №3)
X |
0,5 |
1 |
3 |
4,5 |
Y |
1 |
3 |
4 |
4,8 |
Задание № 2.
Даны замеры движения астероида в космосе в виде таблицы, где t - время, s - путь. Найти пройденный астероидом путь к моменту времени t= 15.
Таблицы узлов интерполяции
(Вариант №1)
t |
3 |
12 |
17 |
21 |
s |
7 |
3 |
11 |
17 |
(Вариант №2)
t |
0 |
7 |
14 |
19 |
s |
0 |
5 |
6 |
11 |
(Вариант №3)
t |
0 |
1 |
12 |
23 |
s |
0 |
2 |
10 |
15 |
Задание № 3.
Для функции заданной таблично, найти значение x ...
Таблицы узлов интерполяции
(Вариант №1) .... для y=15
X |
3 |
12 |
17 |
21 |
Y |
7 |
3 |
11 |
17 |
(Вариант №2) ... для y=15
X |
3 |
12 |
17 |
21 |
Y |
7 |
3 |
11 |
17 |
(Вариант №3).... для y=15
X |
3 |
12 |
17 |
21 |
Y |
7 |
3 |
11 |
17 |
Задание № 4.
Оценить погрешность интерполяционного полином Лагранжа для функции f(x)=ln(x) в точке x = ......для следующих узлов интерполяции.
Таблицы узлов интерполяции
(Вариант №1) .... для х=4
X |
1 |
5 |
8 |
Y |
3 |
6 |
10 |
(Вариант №2) .... для х=7
X |
1 |
5 |
8 |
Y |
3 |
6 |
10 |
(Вариант №3) .... для х=6
X |
1 |
5 |
8 |
Y |
3 |
6 |
10 |
Тестовые задания по теме: «Интерполяция»
1. Приведите выражение для оценки погрешности интерполяции для формул Лагранжа и Ньютона.
а)
,
где
,
ξ – некоторая точка заданного промежутка
[а, b],
h = const
– расстояние между соседними узлами
интерполяции xi (i = 0, 1,…, n).
б)
где
ξ есть некоторая точка наименьшего
промежутка, содержащего все узлы
интерполяции xi (i = 0, 1,…, n)
и точку х,
в которой находится значение сеточной
функции f(x).
в)
,
где xi
– узлы интерполяции, х
– некоторое значение сеточной функции
f(x).
2. Построение интерполирующей функции, в общем случае, подчиняется условию:______________________________________________ .
3. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функций.
а) Требуется найти
значение функции f(x),
(i = 0, 1,…, n),
если известны узлы интерполирования
xi
(i = 0,
1,…,n)
и значения функции f(x)
в этих узлах.
б) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде, или имеющих разрыв 2-го рода.
в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
4. Качество приближения функции интерполяционным полиномом может оцениваться:
а) Максимумом уклонения полинома от приближаемой функции на интервале приближения.
б) Величиной среднеквадратичного уклонения полинома от приближаемой функции на интервале приближения.
5. Назовите области применения интерполирования функций.
а) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. Интерполирование применяют и в случае, когда аналитический вид функции известен, но сложен и требует большого объема вычислений для определения отдельных значений функции.
б) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование функции затруднительно. Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить производные от функций, имеющих разрыв 2-го рода.
в) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить погрешность функции нескольких переменных при заданных погрешностях аргументов.
6. Достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново.
б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени.
в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса.
7. Найдите интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), которая представлена четырьмя своими значениями: f(0) = –0,5; f(0,1) = 0; f(0,3) = 0,2 и f(0,5) = 1.
а)
.
б)
.
в)
.
8. В чем принципиальное отличие метода наименьших квадратов от методов Ньютона и Лагранжа?
а) Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа строятся, исходя из требования, что значения аппроксимируемой функции f(x) и данного многочлена в узлах интерполяции совпадали. В методе наименьших квадратов функция f(x) и интерполяционный многочлен Pm(x) близки в несколько ином смысле, а именно, сумма квадратов отклонений Pm(x) от табличных значений f(x) минимальна.
б) Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа строятся таким образом, чтобы сумма отклонений значений аппроксимируемой функции f(x) и данного многочлена в узлах интерполяции xi была минимальна, а степень интерполяционного многочлена выбирается исследователем. В методе наименьших квадратов функция f(x) и интерполяционный многочлен Pm(x) в узлах xi совпадают, а степень Pm(x) зависит от количества узлов.
в) Отличие состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию f(x) многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возникало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков.